Номер 22.96, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.96. В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если $AC = 17$ см, а высота трапеции равна 8 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, диагонали $AC \perp BD$, длина диагонали $AC = 17$ см, а высота трапеции $h = 8$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как они лежат на параллельных прямых (основания трапеции и их продолжение). Стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC$ и $CE = BD$.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его основание $AE = AD + DE$. Так как $DE = BC$, то $AE = AD + BC$. Высота треугольника $ACE$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AE$, совпадает с высотой трапеции $h$. Площадь треугольника $ACE$ равна:$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Таким образом, площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$: $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

Используем условие перпендикулярности диагоналей. Так как $AC \perp BD$ и $CE || BD$, то из этого следует, что $AC \perp CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $ACE$ нам известны катет $AC = 17$ см и высота, проведенная к гипотенузе $AE$, которая равна высоте трапеции $h = 8$ см. Второй катет $CE$ по длине равен диагонали $BD$.

В прямоугольном треугольнике существует соотношение между катетами ($a, b$) и высотой, проведенной к гипотенузе ($h_c$):$\frac{1}{h_c^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.

Применим эту формулу к треугольнику $ACE$, где $a = AC = 17$, $h_c = h = 8$, а $b = CE$:$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{CE^2}$$\frac{1}{8^2} = \frac{1}{17^2} + \frac{1}{CE^2}$$\frac{1}{64} = \frac{1}{289} + \frac{1}{CE^2}$

Выразим $\frac{1}{CE^2}$:$\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{64} - \frac{1}{289} = \frac{289 - 64}{64 \cdot 289} = \frac{225}{64 \cdot 289}$.

Отсюда находим $CE^2$:$CE^2 = \frac{64 \cdot 289}{225}$. Тогда длина катета $CE$ равна:$CE = \sqrt{\frac{64 \cdot 289}{225}} = \frac{\sqrt{64} \cdot \sqrt{289}}{\sqrt{225}} = \frac{8 \cdot 17}{15} = \frac{136}{15}$ см.

Так как $CE = BD$, мы нашли длину второй диагонали: $BD = \frac{136}{15}$ см.

Площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения их длин. Поэтому площадь трапеции $ABCD$ можно найти по формуле:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Подставим известные значения:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot \frac{136}{15} = \frac{17 \cdot 68}{15} = \frac{1156}{15}$ см$^2$.

Результат можно представить в виде смешанной дроби: $\frac{1156}{15} = 77 \frac{1}{15}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1156}{15}$ см$^2$.