Номер 22.98, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.98. В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырехугольник. Обозначим середины его сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, это $MP$ и $NQ$. По условию задачи, длины этих отрезков равны: $MP = NQ$.

Рассмотрим четырехугольник $MNPQ$, образованный последовательным соединением середин сторон четырехугольника $ABCD$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией. По свойству средней линии, $MN$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

Поскольку отрезки $MN$ и $QP$ параллельны одной и той же прямой $AC$ и равны по длине, то $MN \parallel QP$ и $MN = QP$.

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, $MNPQ$ — это параллелограмм (известный как параллелограмм Вариньона).

Отрезки $MP$ и $NQ$ являются диагоналями этого параллелограмма. По условию задачи дано, что их длины равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $MNPQ$ — это прямоугольник.

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, в частности, $MN \perp MQ$.

Теперь установим связь между сторонами прямоугольника $MNPQ$ и диагоналями исходного четырехугольника $ABCD$. Мы уже показали, что $MN \parallel AC$.

Рассмотрим сторону $MQ$. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ \parallel BD$.

Итак, мы имеем следующие соотношения: $MN \parallel AC$, $MQ \parallel BD$ и $MN \perp MQ$. Поскольку прямые $AC$ и $BD$ соответственно параллельны перпендикулярным прямым $MN$ и $MQ$, то они также перпендикулярны друг другу. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.