Номер 22.102, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.102. Из точки $M$, которая движется по окружности, опускают перпендикуляры на фиксированные диаметры $AB$ и $DC$. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки $M$.

Пусть $O$ - центр окружности, а $R$ - её радиус. Пусть $M$ - произвольная точка на окружности. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ$ на фиксированные диаметры $AB$ и $DC$ соответственно. По построению, $P$ - основание перпендикуляра на $AB$, а $Q$ - основание перпендикуляра на $DC$. Это означает, что углы $\angle MPO$ и $\angle MQO$ являются прямыми, то есть $\angle MPO = 90^\circ$ и $\angle MQO = 90^\circ$.

Рассмотрим четыре точки: $O$, $P$, $M$ и $Q$. Поскольку отрезок $OM$ виден из точек $P$ и $Q$ под прямым углом, эти четыре точки лежат на одной окружности, для которой отрезок $OM$ является диаметром.

Длина диаметра этой новой окружности равна длине отрезка $OM$. Так как точка $M$ движется по исходной окружности с центром $O$ и радиусом $R$, то длина $OM$ всегда равна $R$.

Отрезок $PQ$ является хордой в окружности, построенной на диаметре $OM$. Длину этой хорды можно найти по теореме синусов для треугольника $POQ$, который вписан в эту окружность: $$ \frac{PQ}{\sin(\angle POQ)} = OM $$ Отсюда следует, что длина отрезка $PQ$ равна: $$ PQ = OM \cdot \sin(\angle POQ) $$

Подставляя $OM = R$, получаем: $$ PQ = R \cdot \sin(\angle POQ) $$

Теперь рассмотрим угол $\angle POQ$. Точка $P$ лежит на прямой, содержащей диаметр $AB$, а точка $Q$ лежит на прямой, содержащей диаметр $DC$. Следовательно, угол $\angle POQ$ является углом между прямыми $AB$ и $DC$.

По условию задачи диаметры $AB$ и $DC$ фиксированы. Это означает, что угол между ними является постоянной величиной. Обозначим этот угол как $\alpha$. В зависимости от расположения точек $P$ и $Q$ на диаметрах, угол $\angle POQ$ может быть равен $\alpha$ или $180^\circ - \alpha$. Однако, поскольку $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$, значение $\sin(\angle POQ)$ всегда будет одним и тем же и равным $\sin(\alpha)$.

Таким образом, длина отрезка $PQ$ равна постоянной величине: $$ PQ = R \sin(\alpha) $$ Эта величина зависит только от радиуса окружности $R$ и угла $\alpha$ между фиксированными диаметрами, и совершенно не зависит от положения точки $M$ на окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки $M$.