Номер 22.108, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.108. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке O, $\angle AOC = 120^\circ$. Докажите, что $\angle C_1BO = \angle C_1A_1O$.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Поскольку $AA_1$ и $CC_1$ являются биссектрисами углов $\angle A$ и $\angle C$ соответственно, то $\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^{\circ}$, поэтому:$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ}$Подставим известные значения:$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$$\frac{\angle A + \angle C}{2} = 60^{\circ}$$\angle A + \angle C = 120^{\circ}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$Так как мы нашли, что $\angle A + \angle C = 120^{\circ}$, то:$120^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$$\angle B = 60^{\circ}$

Рассмотрим четырехугольник $C_1BA_1O$. Точки $A, O, A_1$ лежат на одной прямой, и точки $C, O, C_1$ также лежат на одной прямой. Следовательно, углы $\angle C_1OA_1$ и $\angle AOC$ являются вертикальными. Поэтому, $\angle C_1OA_1 = \angle AOC = 120^{\circ}$.

Найдем сумму противоположных углов в четырехугольнике $C_1BA_1O$:$\angle C_1BA_1 + \angle C_1OA_1 = \angle B + \angle C_1OA_1 = 60^{\circ} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $C_1BA_1O$ равна $180^{\circ}$, вокруг него можно описать окружность. Это значит, что точки $C_1, B, A_1, O$ лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle C_1BO$ и $\angle C_1A_1O$ являются вписанными углами и оба опираются на дугу $C_1O$. Следовательно, $\angle C_1BO = \angle C_1A_1O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.