Номер 22.114, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22.114, страница 215.

Условие.

22.114. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Пусть $AC$ — его диагональ, $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. По условию, диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам. Это означает, что точка пересечения $AC$ и $MN$ является серединой отрезка $MN$. Требуется доказать, что площади треугольников $ABC$ и $ADC$ равны, то есть $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы диагональ $AC$ лежала на оси абсцисс ($Ox$). В такой системе координат ординаты точек $A$ и $C$ равны нулю. Пусть координаты вершин четырехугольника: $A(x_A, 0)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, 0)$ и $D(x_D, y_D)$.

Площадь треугольника $ABC$ с основанием $AC$ на оси $Ox$ вычисляется как половина произведения длины основания на высоту, опущенную из вершины $B$. Длина основания $AC$ равна $|x_C - x_A|$, а высота $h_B$ равна модулю ординаты точки $B$, то есть $h_B = |y_B|$. Таким образом, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_B = \frac{1}{2} |x_C - x_A| \cdot |y_B|$.

Аналогично, площадь треугольника $ADC$ с тем же основанием $AC$ вычисляется через высоту $h_D$, опущенную из вершины $D$. Высота $h_D$ равна модулю ординаты точки $D$, то есть $h_D = |y_D|$. Таким образом, $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} |AC| \cdot h_D = \frac{1}{2} |x_C - x_A| \cdot |y_D|$.

Для доказательства равенства площадей $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$ необходимо и достаточно показать, что высоты $h_B$ и $h_D$ равны, то есть $|y_B| = |y_D|$.

Найдем координаты середин сторон $AB$ и $CD$. Точка $M$ — середина $AB$, ее координаты: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{0+y_B}{2}\right) = M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_B}{2}\right)$. Точка $N$ — середина $CD$, ее координаты: $N\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{0+y_D}{2}\right) = N\left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_D}{2}\right)$.

Согласно условию, диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам. Это значит, что середина отрезка $MN$ лежит на диагонали $AC$. Обозначим середину $MN$ как точку $O$. Найдем ее ординату $y_O$:

$y_O = \frac{y_M+y_N}{2} = \frac{\frac{y_B}{2}+\frac{y_D}{2}}{2} = \frac{y_B+y_D}{4}$.

Так как точка $O$ лежит на диагонали $AC$, которая совпадает с осью $Ox$, ее ордината равна нулю: $y_O = 0$.

Приравняем полученное выражение для $y_O$ к нулю:$\frac{y_B+y_D}{4} = 0 \implies y_B+y_D = 0 \implies y_B = -y_D$.

Это равенство означает, что ординаты вершин $B$ и $D$ равны по модулю и противоположны по знаку, что соответствует их расположению по разные стороны от диагонали $AC$ в выпуклом четырехугольнике. Из $y_B = -y_D$ следует, что $|y_B| = |y_D|$.

Поскольку высоты $h_B = |y_B|$ и $h_D = |y_D|$ равны, а основание $AC$ у треугольников $ABC$ и $ADC$ общее, их площади равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Утверждение доказано: диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника. Равенство площадей следует из того, что высоты треугольников, проведенные к этой диагонали как к общему основанию, равны. Равенство высот, в свою очередь, является прямым следствием того, что диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон.