Номер 22.111, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.111. Как относится сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности?

Для нахождения отношения сторон двух правильных шестиугольников — одного, вписанного в окружность, и другого, описанного около той же окружности — выразим длину стороны каждого из них через радиус этой окружности, который обозначим как $R$.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Пусть $a_{вп}$ — сторона вписанного шестиугольника. Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, вершины которых совпадают с центром окружности. Две стороны каждого такого треугольника являются радиусами $R$ окружности, а третья сторона — стороной самого шестиугольника. Поскольку треугольники равносторонние, то и сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности. $a_{вп} = R$

Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности
Пусть $a_{оп}$ — сторона описанного шестиугольника. Для такого шестиугольника радиус окружности $R$ является радиусом вписанной в него окружности, то есть апофемой. Описанный шестиугольник также можно разделить на 6 равносторонних треугольников, но теперь со стороной $a_{оп}$. Радиус $R$ будет являться высотой каждого из этих равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $h=R$ и $a=a_{оп}$, поэтому: $R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$ Выразим отсюда сторону описанного шестиугольника: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Нахождение отношения сторон
Теперь найдем искомое отношение стороны вписанного шестиугольника к стороне описанного шестиугольника: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{ \frac{2R}{\sqrt{3}} }$ Сократим $R$ в числителе и знаменателе: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Отношение стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.