Номер 22.117, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.117. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что $S_{BCO} = 1 \text{ см}^2$, $S_{AOD} = 9 \text{ см}^2$, $S_{ABCD} \le 16 \text{ см}^2$. Найдите площади треугольников ABO и COD.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим искомые площади как $S_{ABO} = x$ и $S_{COD} = y$.

Для любого выпуклого четырехугольника, разделенного диагоналями на четыре треугольника, справедливо свойство: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам, равны. То есть $S_{ABO} \cdot S_{COD} = S_{BCO} \cdot S_{AOD}$.

Докажем это свойство. Треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle BCO$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{ABO}}{S_{BCO}} = \frac{AO}{CO}$

Аналогично, треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$ имеют общую высоту из вершины $D$ к диагонали $AC$, поэтому:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{CO}$

Приравнивая правые части, получаем:
$\frac{S_{ABO}}{S_{BCO}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}} \implies S_{ABO} \cdot S_{COD} = S_{BCO} \cdot S_{AOD}$

Подставим известные значения $S_{BCO} = 1$ см² и $S_{AOD} = 9$ см² в это равенство:
$x \cdot y = 1 \cdot 9 = 9$

Площадь всего четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников:
$S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{BCO} + S_{COD} + S_{AOD} = x + 1 + y + 9 = x + y + 10$

По условию задачи, $S_{ABCD} \le 16$ см². Таким образом, мы получаем неравенство:
$x + y + 10 \le 16$
$x + y \le 6$

Теперь у нас есть система из уравнения и неравенства для положительных величин $x$ и $y$:
1) $xy = 9$
2) $x + y \le 6$

Из первого уравнения выразим $y = \frac{9}{x}$ и подставим во второе неравенство:
$x + \frac{9}{x} \le 6$

Поскольку площадь $x$ является положительной величиной ($x > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства:
$x^2 + 9 \le 6x$

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Левая часть является полным квадратом:
$(x - 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Единственный способ удовлетворить обоим условиям — это равенство нулю:
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x = 3$

Следовательно, $S_{ABO} = 3$ см².

Теперь найдем $y$:
$y = \frac{9}{x} = \frac{9}{3} = 3$

Следовательно, $S_{COD} = 3$ см².

Проверим сумму: $x+y=3+3=6$, что удовлетворяет условию $x+y \le 6$. Площадь четырехугольника в этом случае равна $S_{ABCD} = x+y+10 = 3+3+10 = 16$ см², что также удовлетворяет условию $S_{ABCD} \le 16$ см².

Ответ: $S_{ABO} = 3$ см², $S_{COD} = 3$ см².