Номер 22.115, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.115. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырёхугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. По условию, диагональ $AC$ делит его на два равновеликих треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Это означает, что их площади равны:

$S_{ABC} = S_{ADC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. Выберем диагональ $AC$ в качестве общего основания для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Пусть $h_B$ — высота, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую $AC$, а $h_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на ту же прямую.

Тогда площади треугольников равны:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D$

Из условия равенства площадей $S_{ABC} = S_{ADC}$ следует, что высоты, проведенные к общему основанию, также равны:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D \implies h_B = h_D$

Таким образом, вершины $B$ и $D$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей диагональ $AC$. Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AC$.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Рассмотрим отрезок $MN$, соединяющий середины этих противолежащих сторон. Нам необходимо доказать, что диагональ $AC$ делит отрезок $MN$ пополам, то есть точка их пересечения является серединой $MN$.

Найдем расстояние от точек $M$ и $N$ до прямой $AC$. Расстояние от середины отрезка до некоторой прямой равно полусумме расстояний от концов этого отрезка до той же прямой.

Для точки $M$, которая является серединой $AB$, ее расстояние до прямой $AC$ (обозначим $h_M$) равно:

$h_M = \frac{\text{расстояние от A до AC} + \text{расстояние от B до AC}}{2}$

Поскольку точка $A$ лежит на прямой $AC$, расстояние от нее до прямой равно 0. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $h_B$. Следовательно:

$h_M = \frac{0 + h_B}{2} = \frac{h_B}{2}$

Аналогично для точки $N$, которая является серединой $CD$, ее расстояние до прямой $AC$ (обозначим $h_N$) равно:

$h_N = \frac{\text{расстояние от C до AC} + \text{расстояние от D до AC}}{2}$

Поскольку точка $C$ лежит на прямой $AC$, расстояние от нее до прямой равно 0. Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно $h_D$. Следовательно:

$h_N = \frac{0 + h_D}{2} = \frac{h_D}{2}$

Так как ранее мы установили, что $h_B = h_D$, то отсюда следует, что и расстояния от точек $M$ и $N$ до прямой $AC$ равны:

$h_M = h_N$

Пусть $P$ — точка пересечения отрезка $MN$ и диагонали $AC$. Поскольку $M$ и $N$ лежат по разные стороны от прямой $AC$ (так как $B$ и $D$ лежат по разные стороны), отрезок $MN$ обязательно пересекает прямую $AC$.

Опустим перпендикуляры $MM'$ и $NN'$ из точек $M$ и $N$ на прямую $AC$. Рассмотрим получившиеся прямоугольные треугольники $\triangle PMM'$ и $\triangle PNN'$:

1. $MM' = h_M$ и $NN' = h_N$. Мы доказали, что $h_M = h_N$, следовательно, катеты $MM'$ и $NN'$ равны.
2. $\angle PM'M = \angle PN'N = 90^\circ$ (по построению перпендикуляров).
3. $\angle MPM' = \angle NPN'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle PMM'$ и $\triangle PNN'$ равны по катету и противолежащему острому углу (или по стороне и двум прилежащим углам, если использовать признак ASA). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $MP = NP$.

Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $MN$. Таким образом, диагональ $AC$ делит пополам отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон $AB$ и $CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.