Номер 22.109, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.109. В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$, $\angle ABC = 60^\circ$. Докажите, что $\angle C_1OB = \angle C_1A_1B$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1BC_1O$. Для доказательства равенства углов $\angle C_1OB$ и $\angle C_1A_1B$ покажем, что точки $A_1$, $B$, $C_1$ и $O$ лежат на одной окружности. Это будет означать, что четырехугольник $A_1BC_1O$ — вписанный.

Четырехугольник является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Проверим сумму углов $\angle C_1BA_1$ и $\angle C_1OA_1$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC = 60^\circ$. Угол $\angle C_1BA_1$ совпадает с углом $\angle ABC$, следовательно, $\angle C_1BA_1 = 60^\circ$.

Угол $\angle C_1OA_1$ является вертикальным углу $\angle AOC$, поэтому $\angle C_1OA_1 = \angle AOC$.

Точка $O$ — это точка пересечения биссектрис $AA_1$ и $CC_1$, следовательно, $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Рассмотрим треугольник $AOC$. В нем:
$\angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ (так как $AA_1$ — биссектриса)
$\angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA$ (так как $CC_1$ — биссектриса)

Сумма углов в треугольнике $AOC$ равна $180^\circ$. Тогда:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ имеем:
$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Подставим это значение в формулу для $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle C_1OA_1 = \angle AOC = 120^\circ$.

Теперь найдем сумму противоположных углов четырехугольника $A_1BC_1O$:
$\angle C_1BA_1 + \angle C_1OA_1 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма противоположных углов четырехугольника $A_1BC_1O$ равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность.

Углы $\angle C_1OB$ и $\angle C_1A_1B$ являются вписанными в эту окружность и оба опираются на одну и ту же дугу $C_1B$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, они равны.
Таким образом, $\angle C_1OB = \angle C_1A_1B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.