Номер 22.104, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.104. На стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ найдите такую точку, чтобы расстояние между её проекциями на две другие стороны было наименьшим.

Пусть $M$ — произвольная точка на стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $P$ и $Q$ — проекции точки $M$ на стороны $AB$ и $BC$ соответственно. Это означает, что $MP \perp AB$ и $MQ \perp BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BPMQ$. В этом четырехугольнике углы $\angle BPM$ и $\angle BQM$ являются прямыми по определению проекции ($\angle BPM = 90^\circ$ и $\angle BQM = 90^\circ$).

Рассмотрим отрезок $BM$ как диаметр окружности. Поскольку из точек $P$ и $Q$ отрезок $BM$ виден под прямым углом, обе эти точки лежат на окружности с диаметром $BM$. Таким образом, точки $B$, $P$, $M$, $Q$ лежат на одной окружности.

В этой окружности отрезок $PQ$ является хордой. По следствию из теоремы синусов для треугольника $PBQ$, вписанного в эту окружность, мы имеем:$PQ = d \cdot \sin(\angle PBQ)$, где $d$ — диаметр окружности.

Диаметром нашей окружности является отрезок $BM$, а угол $\angle PBQ$ — это угол $\angle ABC$ исходного треугольника (обозначим его как $\angle B$).Следовательно, мы можем записать формулу для длины отрезка $PQ$:

$PQ = BM \cdot \sin(\angle B)$

В этом выражении величина $\sin(\angle B)$ является постоянной для данного треугольника $ABC$. Следовательно, чтобы минимизировать длину $PQ$, необходимо минимизировать длину отрезка $BM$.

Точка $B$ является фиксированной вершиной треугольника, а точка $M$ может перемещаться по стороне $AC$. Наименьшее расстояние от точки $B$ до прямой, содержащей отрезок $AC$, — это длина перпендикуляра (высоты), опущенного из точки $B$ на эту прямую. Таким образом, длина $BM$ будет наименьшей, когда отрезок $BM$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.

Так как по условию треугольник $ABC$ является остроугольным, основание высоты, проведенной из вершины $B$, будет лежать именно на стороне $AC$.

Ответ: Искомая точка — это основание высоты треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$.