Номер 22.99, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22.99, страница 214.

Условие.

22.99. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $a$ и $b$. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, длины диагоналей которого равны $a$ и $b$. Обозначим вершины четырёхугольника как A, B, C, D, а середины его сторон AB, BC, CD, DA как M, N, P, Q соответственно.

Рассмотрим четырёхугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника. По теореме Вариньона, этот четырёхугольник является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного четырёхугольника и равны их половинам. Так, сторона MN параллельна диагонали AC и равна $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$. Сторона MQ параллельна диагонали BD и равна $MQ = \frac{1}{2}BD = \frac{b}{2}$.

Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон исходного четырёхугольника, то есть MP и NQ, являются диагоналями параллелограмма MNPQ. По условию задачи, эти отрезки равны: $MP = NQ$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Следовательно, MNPQ — это прямоугольник. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, то есть $MN \perp MQ$.

Так как $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$, то из перпендикулярности сторон $MN$ и $MQ$ следует, что диагонали исходного четырёхугольника $AC$ и $BD$ также перпендикулярны. Угол между ними составляет $90^\circ$.

Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. Подставляя наши значения $d_1=a$, $d_2=b$ и $\alpha=90^\circ$, получаем:

$S = \frac{1}{2}ab \sin 90^\circ = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{ab}{2}$.

Ответ: $\frac{ab}{2}$