Номер 22.97, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.97. Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырёхугольника, равны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. По условию его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Обозначим середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что отрезки $MP$ и $NQ$, соединяющие середины противолежащих сторон, равны, то есть $MP = NQ$.

Для доказательства рассмотрим четырёхугольник $MNPQ$, образованный последовательным соединением середин сторон исходного четырёхугольника.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $MN$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN$ параллелен стороне $AC$ и равен её половине:$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP$ параллелен стороне $AC$ и равен её половине:$QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2} AC$.

Из пунктов 1 и 2 следует, что $MN \parallel QP$ и $MN = QP$. По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны), четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Этот факт известен как теорема Вариньона.

3. Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ$ параллелен стороне $BD$:$MQ \parallel BD$.

Таким образом, мы установили, что стороны параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника $ABCD$:$MN \parallel AC$$MQ \parallel BD$

По условию задачи диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$). Поскольку прямые, параллельные перпендикулярным прямым, также взаимно перпендикулярны, то стороны $MN$ и $MQ$ параллелограмма $MNPQ$ также перпендикулярны: $MN \perp MQ$.

Это означает, что угол $\angle NMQ$ является прямым, то есть $\angle NMQ = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ — это прямоугольник.

Отрезки $MP$ и $NQ$, равенство которых требуется доказать, являются диагоналями этого прямоугольника $MNPQ$. Согласно свойству прямоугольника, его диагонали равны между собой.

Отсюда следует, что $MP = NQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны.