Номер 22.94, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22.94, страница 213.

Условие.

22.94. Трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$) вписана в окружность. Точка $O$ — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если $AC = d$ и $\angle COD = 30^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Свойством равнобедренной трапеции является равенство диагоналей. По условию $AC = d$, следовательно, $BD = d$.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно найти по формуле через его диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $d_1 = d_2 = d$, поэтому формула для площади трапеции будет выглядеть так: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$. Для решения задачи нам нужно найти синус угла между диагоналями $AC$ и $BD$.

Угол $\angle COD$ является центральным углом, опирающимся на хорду $CD$. По условию $\angle COD = 30^\circ$. Величина дуги, на которую опирается центральный угол, равна градусной мере этого угла. Таким образом, градусная мера дуги $CD$ равна $30^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Равные хорды стягивают равные дуги, следовательно, дуга $AB$ также равна $30^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $APD$. Угол $\angle CAD$ (или $\angle PAD$) является вписанным углом, опирающимся на дугу $CD$. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.$\angle CAD = \frac{1}{2} \text{дуги } CD = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Аналогично, угол $\angle ADB$ (или $\angle PDA$) является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$.$\angle ADB = \frac{1}{2} \text{дуги } AB = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle APD$ в треугольнике $APD$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Углом между диагоналями принято считать острый угол. Углы $\angle APD$ и $\angle CPD$ — смежные, поэтому $\angle CPD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Таким образом, угол $\alpha$ между диагоналями равен $30^\circ$.(Стоит отметить, что $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ)$, поэтому выбор угла не влияет на результат).

Подставим найденное значение угла в формулу площади трапеции:$S = \frac{1}{2} d^2 \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} d^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{d^2}{4}$.

Ответ: $\frac{d^2}{4}$.