Номер 22.88, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.88. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Любая вписанная в окружность трапеция является равнобедренной. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Тогда боковые стороны равны: $AB = CD$.

По условию, центр окружности $O$ принадлежит большему основанию $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности. Следовательно, отрезки $OA, OB, OC$ и $OD$ равны радиусу $R$ этой окружности.

По условию задачи, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то получаем, что $AB = BC = CD$.

Рассмотрим три треугольника, образованных вершинами трапеции и центром окружности: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$.

• В $\triangle AOB$ стороны $OA=R$ и $OB=R$.
• В $\triangle BOC$ стороны $OB=R$ и $OC=R$.
• В $\triangle COD$ стороны $OC=R$ и $OD=R$.

Поскольку $AB = BC = CD$, то треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COD$ равны по трем сторонам (у всех них стороны равны $R$, $R$ и $AB$).

Из равенства этих треугольников следует равенство их углов при вершине $O$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Так как центр $O$ лежит на основании $AD$, то угол $\angle AOD$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трех найденных равных углов:

$\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 3 \cdot \angle BOC = 180^\circ$

Отсюда находим, что $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Теперь, зная углы при центре, найдем углы трапеции.

• Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным ($OA=OB=R$) с углом при вершине $60^\circ$, следовательно, он равносторонний. Все его углы равны $60^\circ$, в частности $\angle OAB = 60^\circ$ и $\angle OBA = 60^\circ$.
• Треугольник $\triangle BOC$ также является равносторонним ($OB=OC=R$, $\angle BOC=60^\circ$), поэтому $\angle OBC = 60^\circ$ и $\angle OCB = 60^\circ$.
• Треугольник $\triangle COD$ также является равносторонним ($OC=OD=R$, $\angle COD=60^\circ$), поэтому $\angle OCD = 60^\circ$ и $\angle ODC = 60^\circ$.

Углы трапеции $ABCD$ равны:

• $\angle A = \angle OAB = 60^\circ$.
• $\angle D = \angle ODC = 60^\circ$.
• $\angle B = \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
• $\angle C = \angle BCD = \angle OCB + \angle OCD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.