Номер 22.82, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.82. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD = a$, $BC = b$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобокой трапеции $AB = CD$.

Пусть вписанная окружность касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 18 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 18$ см.

Длина боковой стороны $c$ равна сумме длин этих отрезков:$c = CD = CK + KD = 8 + 18 = 26$ см.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон:$a + b = AB + CD$Так как трапеция равнобокая, $AB = CD = 26$ см, то$a + b = 26 + 26 = 52$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$, где $r$ - радиус). Найдем радиус вписанной окружности. Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Рассмотрим треугольник $COD$. Лучи $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $BCD$ и $ADC$ соответственно. Так как $BC \parallel AD$, то сумма углов при боковой стороне $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$. Следовательно, сумма углов в треугольнике $COD$ при стороне $CD$ равна:$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $COD$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle COD = 90^\circ$. Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp CD$. Таким образом, $OK$ — это высота прямоугольного треугольника $COD$, проведенная к гипотенузе $CD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:$r^2 = OK^2 = CK \cdot KD = 8 \cdot 18 = 144$ см$^2$. Отсюда радиус $r = \sqrt{144} = 12$ см. Высота трапеции $h$ равна диаметру окружности:$h = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставим известные значения суммы оснований и высоты:$S = \frac{52}{2} \cdot 24 = 26 \cdot 24 = 624$ см$^2$.

Ответ: $624$ см$^2$.