Номер 22.76, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.76. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен $R$, а один из углов трапеции - $45^{\circ}$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$.

Поскольку трапеция равнобокая, ее углы при основании равны. В условии сказано, что один из углов равен $45^\circ$. Это острый угол при большем основании. Обозначим трапецию как $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Тогда $\angle A = \angle D = 45^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором катет $BH = h = 2R$, а угол $\angle BAH = 45^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH = 2R$.

Боковую сторону трапеции $c = AB$ можно найти по теореме Пифагора для треугольника $ABH$:

$c = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{(2R)^2 + (2R)^2} = \sqrt{4R^2 + 4R^2} = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это свойство выглядит так: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим найденное значение боковой стороны $c$:

$a + b = 2 \cdot (2\sqrt{2}R) = 4\sqrt{2}R$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим в нее известные нам значения:

$S = \frac{4\sqrt{2}R}{2} \cdot (2R) = 2\sqrt{2}R \cdot 2R = 4\sqrt{2}R^2$.

Ответ: $4\sqrt{2}R^2$.