Номер 22.71, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.71. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ проведён отрезок $EF$ параллельно стороне $AB$. Найдите площадь четырёхугольника $ABFE$, если $AB = EF$ и площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Пусть M - точка пересечения медиан (центроид) треугольника ABC. По условию, через точку M проведен отрезок EF, который параллелен стороне AB ($EF \parallel AB$) и равен ей по длине ($EF = AB$).

Рассмотрим четырехугольник ABFE. Так как у него две противоположные стороны AB и EF параллельны и равны, то ABFE является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь ABFE можно вычислить как $S_{ABFE} = AB \cdot h$, где $h$ - высота параллелограмма, то есть расстояние между параллельными прямыми AB и EF.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся свойствами медиан. Пусть $CK$ - медиана, проведенная из вершины C к стороне AB, а $CH$ - высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Обозначим длину этой высоты $h_C = CH$. Точка M лежит на медиане CK.

По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $CM : MK = 2:1$, что эквивалентно $CM = \frac{2}{3} CK$.

Рассмотрим две прямые $CK$ и $CH$, пересекающиеся в точке C. Эти прямые пересекают параллельные прямые $AB$ (в точках K и H соответственно) и $EF$ (пусть прямая $EF$ пересекает высоту $CH$ в точке Q). Поскольку точка M лежит на отрезке EF, то прямая EF проходит через M. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): $$ \frac{CM}{CK} = \frac{CQ}{CH} $$ Подставляя известное соотношение для медиан, получаем: $$ \frac{2}{3} = \frac{CQ}{CH} \implies CQ = \frac{2}{3} CH = \frac{2}{3} h_C $$ Высота параллелограмма $h$ - это расстояние между прямыми AB и EF, которое равно длине отрезка QH. $$ h = QH = CH - CQ = h_C - \frac{2}{3} h_C = \frac{1}{3} h_C $$

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABFE: $$ S_{ABFE} = AB \cdot h = AB \cdot \left(\frac{1}{3} h_C\right) = \frac{1}{3} (AB \cdot h_C) $$

Площадь треугольника ABC по условию равна S. Она вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} AB \cdot h_C$. Отсюда мы можем выразить произведение основания на высоту треугольника: $AB \cdot h_C = 2S$.

Подставим это выражение в формулу для площади параллелограмма: $$ S_{ABFE} = \frac{1}{3} (2S) = \frac{2S}{3} $$

Ответ: $\frac{2S}{3}$.