Номер 22.69, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.69. Через середину диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $BD = 10 \text{ см}$, $BM = 6 \text{ см}$, $MC = 2 \text{ см}$. Вычислите площадь четырёхугольника $AMSK$.

1. Найдём стороны прямоугольника.

По условию, точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:
$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). По теореме Пифагора, $BC^2 + CD^2 = BD^2$. Выразим отсюда сторону $CD$:
$CD^2 = BD^2 - BC^2$
$CD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$CD = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.
Итак, стороны прямоугольника равны $AD = BC = 8$ см и $AB = CD = 6$ см.

2. Докажем равенство треугольников и найдём длину отрезка $DK$.

Пусть $O$ — середина диагонали $BD$. Прямая $MK$ проходит через точку $O$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BOM$ и $\triangle DOK$.

• $BO = DO$, так как $O$ — середина $BD$.
• $\angle MBO = \angle KDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
• $\angle BOM = \angle DOK$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle BOM \cong \triangle DOK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $DK = BM = 6$ см.

3. Найдём длину отрезка $AK$.

Точка $K$ лежит на стороне $AD$. Длина стороны $AD$ равна 8 см. Тогда:
$AK = AD - DK = 8 \text{ см} - 6 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

4. Определим вид четырёхугольника $AMCK$ и вычислим его площадь.

В четырёхугольнике $AMCK$ стороны $AK$ и $MC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, значит, $AK \parallel MC$. Таким образом, $AMCK$ — трапеция.
Мы нашли, что $AK = 2$ см, и по условию $MC = 2$ см. Так как у трапеции $AMCK$ параллельные стороны равны ($AK = MC$), то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. В качестве основания можно взять сторону $MC$, тогда высотой будет перпендикуляр, проведённый от прямой $AD$ к прямой $BC$. Длина этого перпендикуляра равна длине стороны $CD$ (или $AB$) прямоугольника.
$S_{AMCK} = MC \cdot CD = 2 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².