Номер 22.70, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.70. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AA_1$. Через точку $C$ проведён отрезок $FN$, равный отрезку $AA_1$ и параллельный ему. Найдите площадь четырёхугольника $AFNA_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Пусть дана площадь треугольника $ABC$, равная $S$. Медиана $AA_1$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BA_1 = A_1C$.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Это происходит потому, что треугольники $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$ имеют равные основания ($BA_1 = A_1C$) и общую высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Следовательно, их площади равны:$S_{ABA_1} = S_{ACA_1}$.

Так как $S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{ACA_1} = S$, то площадь каждого из этих треугольников равна половине площади исходного треугольника:$S_{ACA_1} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{S}{2}$.

По условию, через точку $C$ проведён отрезок $FN$, равный и параллельный отрезку $AA_1$. В задачах по геометрии такая формулировка обычно означает, что точка $C$ является одним из концов отрезка. Рассмотрим вариант, когда точка $F$ совпадает с точкой $C$ (случай, когда $N=C$, решается аналогично и приводит к тому же результату).

Если $F=C$, то искомый четырёхугольник $AFNA_1$ становится четырёхугольником $ACNA_1$. По построению, отрезок $CN$ равен и параллелен отрезку $AA_1$.

Рассмотрим четырёхугольник $ACNA_1$. В нём две противоположные стороны $AA_1$ и $CN$ равны и параллельны по условию. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ACNA_1$ — это параллелограмм.

Площадь параллелограмма можно найти, удвоив площадь треугольника, образованного двумя его смежными сторонами и диагональю. Диагональ $A_1C$ делит параллелограмм $ACNA_1$ на два равных треугольника: $\triangle ACA_1$ и $\triangle CNA_1$. Значит, площадь параллелограмма равна:$S_{ACNA_1} = 2 \cdot S_{ACA_1}$.

Подставим ранее найденное значение площади треугольника $ACA_1$:$S_{AFNA_1} = S_{ACNA_1} = 2 \cdot \frac{S}{2} = S$.

Ответ: $S$.