Номер 22.66, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.66. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, пересекающая стороны $BA$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Прямая $BF$ — касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $MN$ и $BF$ параллельны.

Поскольку по условию точки $A, C, N, M$ лежат на одной окружности, то четырехугольник $ACNM$ является вписанным в эту окружность. Существует свойство вписанного четырехугольника, согласно которому внешний угол при одной из его вершин равен внутреннему углу при противоположной вершине.

Рассмотрим внешний угол четырехугольника $ACNM$ при вершине $N$. Этот угол совпадает с углом $\angle BNM$. Внутренний угол, противолежащий вершине $N$, — это угол $\angle MAC$. Так как точки $M$ и $A$ лежат на одной стороне угла $\angle BAC$, то $\angle MAC$ совпадает с $\angle BAC$. Таким образом, мы получаем первое важное соотношение: $\angle BNM = \angle BAC$.

Теперь рассмотрим окружность, описанную около треугольника $ABC$. Прямая $BF$ по условию является касательной к этой окружности в точке $B$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной ($BF$) и хордой ($BC$), проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на эту хорду ($\angle BAC$). Следовательно, мы получаем второе важное соотношение: $\angle FBC = \angle BAC$.

Сопоставляя два полученных равенства:

1. $\angle BNM = \angle BAC$

2. $\angle FBC = \angle BAC$

мы приходим к выводу, что $\angle BNM = \angle FBC$.

Прямые $MN$ и $BF$ пересекаются третьей прямой — секущей $BC$. Углы $\angle BNM$ и $\angle FBC$ являются соответственными углами при этих прямых и секущей. Так как мы доказали, что эти соответственные углы равны, то, по признаку параллельности прямых, прямые $MN$ и $BF$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.