Номер 22.62, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.62. Два параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ расположены так, что точка $B$ — середина отрезка $AB_1$, точка $C$ — середина отрезка $BC_1$, точка $D$ — середина отрезка $CD_1$, точка $A$ — середина отрезка $DA_1$. Найдите площадь параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $\vec{AB} = \vec{u}$ и $\vec{AD} = \vec{v}$. Тогда площадь параллелограмма $ABCD$ равна модулю векторного произведения этих векторов:

$S_{ABCD} = |\vec{u} \times \vec{v}| = S$

Выразим векторы, определяющие вершины параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$, через векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$. За начало отсчета примем точку $A$.

Из условия задачи известны следующие соотношения:

• Точка $B$ — середина отрезка $AB_1$. Это означает, что $\vec{AB} = \vec{BB_1}$. Тогда $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = 2\vec{AB} = 2\vec{u}$.
• Точка $C$ — середина отрезка $BC_1$. Это означает, что $\vec{BC} = \vec{CC_1}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{v}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = 2\vec{BC} = 2\vec{v}$.
• Точка $D$ — середина отрезка $CD_1$. Это означает, что $\vec{CD} = \vec{DD_1}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{u}$. Следовательно, $\vec{DD_1} = -\vec{u}$.
• Точка $A$ — середина отрезка $DA_1$. Это означает, что $\vec{DA} = \vec{AA_1}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{v}$. Следовательно, $\vec{AA_1} = -\vec{v}$.

Теперь найдем векторы, образующие стороны параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Например, векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1D_1}$.

Выразим вектор $\vec{A_1B_1}$:

$\vec{A_1B_1} = \vec{A_1A} + \vec{AB_1}$

Мы знаем, что $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1} = -(-\vec{v}) = \vec{v}$ и $\vec{AB_1} = 2\vec{u}$.

Таким образом, $\vec{A_1B_1} = \vec{v} + 2\vec{u} = 2\vec{u} + \vec{v}$.

Выразим вектор $\vec{A_1D_1}$:

$\vec{A_1D_1} = \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DD_1}$

Мы знаем, что $\vec{A_1A} = \vec{v}$, $\vec{AD} = \vec{v}$ и $\vec{DD_1} = -\vec{u}$.

Таким образом, $\vec{A_1D_1} = \vec{v} + \vec{v} + (-\vec{u}) = 2\vec{v} - \vec{u}$.

Площадь параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ равна модулю векторного произведения векторов $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{A_1D_1}$:

$S_{A_1B_1C_1D_1} = |\vec{A_1B_1} \times \vec{A_1D_1}| = |(2\vec{u} + \vec{v}) \times (-\vec{u} + 2\vec{v})|$

Раскроем скобки, используя свойства векторного произведения (дистрибутивность и антикоммутативность):

$ (2\vec{u} + \vec{v}) \times (-\vec{u} + 2\vec{v}) = 2\vec{u} \times (-\vec{u}) + 2\vec{u} \times 2\vec{v} + \vec{v} \times (-\vec{u}) + \vec{v} \times 2\vec{v} $

Учитывая, что $\vec{u} \times \vec{u} = 0$, $\vec{v} \times \vec{v} = 0$ и $\vec{v} \times \vec{u} = -(\vec{u} \times \vec{v})$, получим:

$ = -2(\vec{u} \times \vec{u}) + 4(\vec{u} \times \vec{v}) - (\vec{v} \times \vec{u}) + 2(\vec{v} \times \vec{v}) $

$ = 0 + 4(\vec{u} \times \vec{v}) - (-(\vec{u} \times \vec{v})) + 0 $

$ = 4(\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \times \vec{v}) = 5(\vec{u} \times \vec{v}) $

Тогда площадь равна:

$S_{A_1B_1C_1D_1} = |5(\vec{u} \times \vec{v})| = 5|\vec{u} \times \vec{v}| = 5S$

Ответ: $5S$.