Номер 22.65, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.65. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$.
Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Докажите, что отрезки $BO$ и $A_1C_1$ перпендикулярны.

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ ($A_1$ на стороне $BC$, $C_1$ на стороне $AB$). Точка $O$ — центр описанной окружности $\triangle ABC$. Обозначим углы треугольника как $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$.

1. Рассмотрим треугольник $A_1BC_1$. Поскольку $CC_1$ — высота, $\triangle BC_1C$ является прямоугольным с гипотенузой $BC$. Из определения косинуса имеем $BC_1 = BC \cdot \cos(\beta)$. Аналогично, поскольку $AA_1$ — высота, $\triangle BA_1A$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$, и $BA_1 = AB \cdot \cos(\beta)$.

2. Сравним треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$. У них общий угол $\angle B = \beta$. Рассмотрим отношение сторон, прилежащих к этому углу:$$ \frac{BC_1}{BC} = \cos(\beta) \quad \text{и} \quad \frac{BA_1}{AB} = \cos(\beta) $$Так как отношения сторон равны ($\frac{BC_1}{BC} = \frac{BA_1}{AB}$), то $\triangle A_1BC_1$ подобен $\triangle ABC$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).Из подобия следует равенство соответствующих углов: $\angle BC_1A_1 = \angle BCA = \gamma$.

3. Теперь определим угол, который образует прямая $BO$ со стороной $AB$. Точка $O$ — центр описанной окружности, поэтому $OA = OB$ как радиусы этой окружности. Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным.
Угол $\angle AOB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, — это $\angle ACB = \gamma$. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного, поэтому $\angle AOB = 2\gamma$.
В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании равны:$$ \angle OBA = \angle OAB = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \frac{180^\circ - 2\gamma}{2} = 90^\circ - \gamma $$

4. Докажем перпендикулярность отрезков. Пусть $K$ — точка пересечения прямых $BO$ и $A_1C_1$. Рассмотрим треугольник $BKC_1$.
Угол $\angle KBC_1$ совпадает с углом $\angle OBA$, так как точка $C_1$ лежит на стороне $AB$. Таким образом, $\angle KBC_1 = 90^\circ - \gamma$.
Угол $\angle KC_1B$ совпадает с углом $\angle A_1C_1B$. Как было показано в пункте 2, $\angle BC_1A_1 = \gamma$.
Сумма углов в треугольнике $BKC_1$ равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle BKC_1$:$$ \angle BKC_1 = 180^\circ - (\angle KBC_1 + \angle KC_1B) = 180^\circ - ((90^\circ - \gamma) + \gamma) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $$Поскольку угол между прямыми, содержащими отрезки $BO$ и $A_1C_1$, равен $90^\circ$, то эти отрезки перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.