Номер 22.59, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.59. На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили её со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Точка $P$ лежит на отрезке $MN$. Требуется доказать, что площади треугольников $PAB$ и $PCD$, прилежащих к боковым сторонам $AB$ и $CD$, равны, то есть $S_{\triangle PAB} = S_{\triangle PCD}$.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на линейности площади. Площадь треугольника, у которого две вершины фиксированы, является линейной функцией координат третьей вершины. Поскольку точка $P$ движется по отрезку $MN$, её координаты линейно зависят от некоторого параметра (например, от отношения $PN/MN$). Следовательно, разность площадей $f(P) = S_{\triangle PAB} - S_{\triangle PCD}$ также является линейной функцией этого параметра.

Линейная функция будет равна нулю на всём отрезке, если она равна нулю в его концах. Таким образом, достаточно доказать утверждение для двух крайних положений точки $P$: когда $P$ совпадает с $N$ и когда $P$ совпадает с $M$.

1. Случай, когда точка $P$ совпадает с точкой $N$ (серединой основания $AD$).

В этом случае нам нужно доказать, что $S_{\triangle NAB} = S_{\triangle NCD}$.

Рассмотрим треугольник $NAB$. Его основание $AN$ равно половине основания $AD$, то есть $AN = \frac{1}{2}AD$. Высота треугольника $NAB$, проведённая из вершины $B$ к прямой $AD$, равна высоте трапеции $h$.

Таким образом, площадь треугольника $NAB$ равна:

$S_{\triangle NAB} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{AD}{2} \cdot h = \frac{AD \cdot h}{4}$

Рассмотрим треугольник $NCD$. Его основание $ND$ равно половине основания $AD$, то есть $ND = \frac{1}{2}AD$. Высота треугольника $NCD$, проведённая из вершины $C$ к прямой $AD$, также равна высоте трапеции $h$.

Таким образом, площадь треугольника $NCD$ равна:

$S_{\triangle NCD} = \frac{1}{2} \cdot ND \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{AD}{2} \cdot h = \frac{AD \cdot h}{4}$

Следовательно, $S_{\triangle NAB} = S_{\triangle NCD}$. Утверждение для точки $N$ доказано.

2. Случай, когда точка $P$ совпадает с точкой $M$ (серединой основания $BC$).

В этом случае нам нужно доказать, что $S_{\triangle MAB} = S_{\triangle MCD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$ и равные высоты, так как обе высоты равны высоте трапеции $h$. Следовательно, их площади равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BMD$ и $\triangle CMD$. У них равные основания $BM$ и $MC$ (так как $M$ — середина $BC$), и они имеют общую высоту, проведённую из вершины $D$ к прямой $BC$. Следовательно, их площади также равны:

$S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD}$

Площадь четырёхугольника $ABMD$ можно представить как сумму площадей треугольников, из которых он состоит:

$S_{ABMD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BMD}$

Аналогично для четырёхугольника $AMCD$:

$S_{AMCD} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle CMD}$

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$ и $S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD}$, мы можем заключить, что площади четырёхугольников равны:

$S_{ABMD} = S_{AMCD}$

Теперь представим площади этих же четырёхугольников по-другому:

$S_{ABMD} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAD}$

$S_{AMCD} = S_{\triangle MCD} + S_{\triangle MAD}$

Приравнивая эти выражения, получаем:

$S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAD} = S_{\triangle MCD} + S_{\triangle MAD}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{\triangle MAD}$, получаем:

$S_{\triangle MAB} = S_{\triangle MCD}$

Утверждение для точки $M$ доказано.

Заключение

Мы показали, что разность площадей $S_{\triangle PAB} - S_{\triangle PCD}$ равна нулю, когда точка $P$ находится в концах отрезка $MN$. Так как эта разность является линейной функцией положения точки $P$ на отрезке, она равна нулю для любой точки $P$ на этом отрезке. Таким образом, для любой точки $P$ на отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны.

Ответ: Утверждение доказано. Площади треугольников, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.