Номер 22.60, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.60. Точки $M$, $N$ и $P$ принадлежат сторонам $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3$. Площадь треугольника $MNP$ равна $S$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть площадь треугольника $ABC$ обозначается $S_{ABC}$. По условию, площадь треугольника $MNP$ равна $S$.

Площадь треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей четырех треугольников: $AMP$, $BMN$, $CPN$ и $MNP$. Таким образом, $S_{ABC} = S_{AMP} + S_{BMN} + S_{CPN} + S_{MNP}$.

Выразим площади "угловых" треугольников $AMP$, $BMN$ и $CPN$ через площадь треугольника $ABC$, используя свойство площадей треугольников с общим углом и данные из условия соотношения сторон.

Из условия $AM : AB = 1:3$ следует, что $AM = \frac{1}{3}AB$, а $BM = AB - AM = AB - \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}AB$.

Из условия $BN : BC = 1:3$ следует, что $BN = \frac{1}{3}BC$, а $CN = BC - BN = BC - \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC$.

Из условия $CP : CA = 1:3$ следует, что $CP = \frac{1}{3}CA$, а $AP = CA - CP = CA - \frac{1}{3}CA = \frac{2}{3}CA$.

Теперь найдем площади угловых треугольников. Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, образующих этот угол.

Для треугольника $AMP$ и $ABC$ с общим углом $A$:

$\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AP}{AB \cdot AC} = \frac{(\frac{1}{3}AB) \cdot (\frac{2}{3}AC)}{AB \cdot AC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$. Отсюда $S_{AMP} = \frac{2}{9}S_{ABC}$.

Для треугольника $BMN$ и $ABC$ с общим углом $B$:

$\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = \frac{BM \cdot BN}{AB \cdot BC} = \frac{(\frac{2}{3}AB) \cdot (\frac{1}{3}BC)}{AB \cdot BC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. Отсюда $S_{BMN} = \frac{2}{9}S_{ABC}$.

Для треугольника $CPN$ и $ABC$ с общим углом $C$:

$\frac{S_{CPN}}{S_{ABC}} = \frac{CP \cdot CN}{CA \cdot CB} = \frac{(\frac{1}{3}CA) \cdot (\frac{2}{3}BC)}{CA \cdot BC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$. Отсюда $S_{CPN} = \frac{2}{9}S_{ABC}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $MNP$, которая по условию равна $S$:

$S = S_{MNP} = S_{ABC} - S_{AMP} - S_{BMN} - S_{CPN}$

$S = S_{ABC} - \frac{2}{9}S_{ABC} - \frac{2}{9}S_{ABC} - \frac{2}{9}S_{ABC}$

$S = S_{ABC} - 3 \cdot \frac{2}{9}S_{ABC}$

$S = S_{ABC} - \frac{6}{9}S_{ABC}$

$S = S_{ABC} - \frac{2}{3}S_{ABC}$

$S = \frac{1}{3}S_{ABC}$

Из этого уравнения находим искомую площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = 3S$

Ответ: $3S$.