Номер 22.67, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.67. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 7, считая от вершины острого угла, равного $45^{\circ}$. Вычислите площадь параллелограмма, если его периметр равен 52 см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle A = 45^\circ$ — острый угол, а $\angle B = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ — тупой угол. Проведем биссектрису $BK$ из вершины тупого угла $B$ на сторону $AD$.

По условию, биссектриса делит сторону $AD$ в отношении $3:7$, считая от вершины острого угла $A$. Таким образом, точка $K$ лежит на стороне $AD$, и $AK : KD = 3 : 7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $AK = 3x$ и $KD = 7x$. Длина всей стороны $AD$ равна сумме длин ее частей: $AD = AK + KD = 3x + 7x = 10x$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $BK$. Углы $\angle CBK$ и $\angle BKA$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle CBK = \angle BKA$.

Так как $BK$ — биссектриса угла $\angle B$, она делит его пополам: $\angle ABK = \angle CBK$. Из двух последних равенств следует, что $\angle BKA = \angle ABK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Два его угла ($\angle BKA$ и $\angle ABK$) равны, следовательно, $\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = AK$.

Мы знаем, что $AK = 3x$, следовательно, $AB = 3x$. Таким образом, смежные стороны параллелограмма равны $AB = 3x$ и $AD = 10x$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, периметр равен 52 см. Подставим наши выражения для сторон:$52 = 2(3x + 10x)$$52 = 2(13x)$$52 = 26x$Отсюда находим $x$:$x = \frac{52}{26} = 2$ см.

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:$AB = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.$AD = 10x = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $a = AB = 6$ см, $b = AD = 20$ см, а угол между ними $\angle A = 45^\circ$.$S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot 20 \cdot \sin(45^\circ)$.

Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.$S = 120 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}$ см².

Ответ: $60\sqrt{2}$ см².