Номер 22.73, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.73. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Серединный перпендикуляр к его диагонали $AC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

По определению серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то расстояния от $M$ до точек $A$ и $C$ равны:

$AM = MC$.

Из условия задачи известно, что $BM : MC = 1 : 2$. Примем длину отрезка $BM$ за $x$. Тогда длина отрезка $MC$ будет равна $2x$.

$BM = x$

$MC = 2x$

Так как $AM = MC$, то $AM = 2x$.

Длина стороны $BC$ прямоугольника равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:

$BC = BM + MC = x + 2x = 3x$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABM$ — прямоугольный. Применим к нему теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2$

$(2x)^2 = AB^2 + x^2$

$4x^2 = AB^2 + x^2$

$AB^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$

$AB = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Углы, на которые диагональ $AC$ делит угол прямоугольника, это $\angle BCA$ и $\angle BAC$. Найдем один из этих углов, например, $\angle BCA$, через тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{x\sqrt{3}}{3x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$.

Следовательно, $\angle BCA = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому второй искомый угол $\angle BAC$ равен:

$\angle BAC = 90^\circ - \angle BCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, диагональ прямоугольника делит его угол на углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.