Номер 22.72, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.72. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По определению серединного перпендикуляра, он проходит через середину отрезка $AC$, которой является точка $O$, и перпендикулярен прямой $AC$.

Пусть $K$ — точка пересечения перпендикуляра $l$ со стороной $BC$. Таким образом, прямая $OK$ совпадает с серединным перпендикуляром $l$.

Обозначим искомый угол через $\alpha$. Углом между прямыми (в данном случае, между диагоналями) принято считать острый угол. Пусть острый угол между диагоналями равен $\alpha$. В прямоугольнике диагонали образуют две пары равных вертикальных углов. Пусть $\angle AOB = \angle COD = \alpha$. Тогда смежные с ними углы равны $180^\circ - \alpha$, то есть $\angle BOC = \angle AOD = 180^\circ - \alpha$.

По условию задачи, угол, который серединный перпендикуляр $l$ (прямая $OK$) образует со стороной $BC$, равен углу между диагоналями, то есть $\alpha$. Таким образом, $\angle OKC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OB = OC$. Следовательно, треугольник $\triangle OBC$ является равнобедренным. Углы при его основании $BC$ равны: $\angle OCB = \angle OBC$. Сумма углов в треугольнике $\triangle OBC$ составляет $180^\circ$:

$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^\circ$

Подставим $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$:

$2\angle OCB + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$2\angle OCB = \alpha$

$\angle OCB = \frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OCK$. В нем нам известны или могут быть выражены через $\alpha$ все три угла.

1. Угол $\angle OCK$ — это тот же угол, что и $\angle OCB$, поэтому $\angle OCK = \frac{\alpha}{2}$.

2. Угол $\angle OKC$ по условию равен $\alpha$.

3. Прямая $OK$ является серединным перпендикуляром к диагонали $AC$. Это означает, что прямая $OK$ перпендикулярна прямой $AC$. Поскольку отрезок $OC$ лежит на прямой $AC$, то $\angle KOC = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle OCK$ равна $180^\circ$:

$\angle KOC + \angle OCK + \angle OKC = 180^\circ$

Подставим выражения для углов через $\alpha$:

$90^\circ + \frac{\alpha}{2} + \alpha = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ$

$\frac{3\alpha}{2} = 90^\circ$

$3\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Мы нашли, что искомый угол равен $60^\circ$. Это значение является острым углом, что соответствует нашему предположению.

Ответ: $60^\circ$.