Страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.68. Биссектриса угла $D$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$, $BM = 5$ см, $AD = 3$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть $ABCD$ — заданный прямоугольник. Биссектриса $DM$ угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$. По условию, $BM = 5$ см и $AD = 3$ см.

Поскольку $ABCD$ является прямоугольником, все его углы равны $90^\circ$. Таким образом, $\angle D = \angle ADC = 90^\circ$. Так как $DM$ — биссектриса угла $D$, она делит его пополам: $\angle ADM = \frac{\angle ADC}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADM$. Угол $\angle A$ в этом треугольнике равен $90^\circ$ (так как это угол прямоугольника). Мы уже знаем, что $\angle ADM = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle AMD$: $\angle AMD = 180^\circ - \angle A - \angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ADM$ два угла равны ($\angle ADM = \angle AMD = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $AM = AD$.

Из условия известно, что $AD = 3$ см. Значит, и $AM = 3$ см.

Сторона прямоугольника $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $BM$. Её общая длина равна: $AB = AM + BM = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8$ см.

Теперь мы знаем длины обеих смежных сторон прямоугольника: $AB = 8$ см и $AD = 3$ см. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (AB + AD)$.

Подставим значения: $P = 2 \cdot (8 + 3) = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Ответ: 22 см.

22.69. Через середину диагонали $BD$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ прямоугольника в точках $M$ и $K$ соответственно, $BD = 10 \text{ см}$, $BM = 6 \text{ см}$, $MC = 2 \text{ см}$. Вычислите площадь четырёхугольника $AMSK$.

1. Найдём стороны прямоугольника.

По условию, точка $M$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:
$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). По теореме Пифагора, $BC^2 + CD^2 = BD^2$. Выразим отсюда сторону $CD$:
$CD^2 = BD^2 - BC^2$
$CD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
$CD = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.
Итак, стороны прямоугольника равны $AD = BC = 8$ см и $AB = CD = 6$ см.

2. Докажем равенство треугольников и найдём длину отрезка $DK$.

Пусть $O$ — середина диагонали $BD$. Прямая $MK$ проходит через точку $O$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BOM$ и $\triangle DOK$.

• $BO = DO$, так как $O$ — середина $BD$.
• $\angle MBO = \angle KDO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
• $\angle BOM = \angle DOK$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle BOM \cong \triangle DOK$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $DK = BM = 6$ см.

3. Найдём длину отрезка $AK$.

Точка $K$ лежит на стороне $AD$. Длина стороны $AD$ равна 8 см. Тогда:
$AK = AD - DK = 8 \text{ см} - 6 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

4. Определим вид четырёхугольника $AMCK$ и вычислим его площадь.

В четырёхугольнике $AMCK$ стороны $AK$ и $MC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, значит, $AK \parallel MC$. Таким образом, $AMCK$ — трапеция.
Мы нашли, что $AK = 2$ см, и по условию $MC = 2$ см. Так как у трапеции $AMCK$ параллельные стороны равны ($AK = MC$), то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. В качестве основания можно взять сторону $MC$, тогда высотой будет перпендикуляр, проведённый от прямой $AD$ к прямой $BC$. Длина этого перпендикуляра равна длине стороны $CD$ (или $AB$) прямоугольника.
$S_{AMCK} = MC \cdot CD = 2 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².

22.70. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AA_1$. Через точку $C$ проведён отрезок $FN$, равный отрезку $AA_1$ и параллельный ему. Найдите площадь четырёхугольника $AFNA_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Пусть дана площадь треугольника $ABC$, равная $S$. Медиана $AA_1$ делит сторону $BC$ на два равных отрезка: $BA_1 = A_1C$.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями). Это происходит потому, что треугольники $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$ имеют равные основания ($BA_1 = A_1C$) и общую высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Следовательно, их площади равны:$S_{ABA_1} = S_{ACA_1}$.

Так как $S_{ABC} = S_{ABA_1} + S_{ACA_1} = S$, то площадь каждого из этих треугольников равна половине площади исходного треугольника:$S_{ACA_1} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{S}{2}$.

По условию, через точку $C$ проведён отрезок $FN$, равный и параллельный отрезку $AA_1$. В задачах по геометрии такая формулировка обычно означает, что точка $C$ является одним из концов отрезка. Рассмотрим вариант, когда точка $F$ совпадает с точкой $C$ (случай, когда $N=C$, решается аналогично и приводит к тому же результату).

Если $F=C$, то искомый четырёхугольник $AFNA_1$ становится четырёхугольником $ACNA_1$. По построению, отрезок $CN$ равен и параллелен отрезку $AA_1$.

Рассмотрим четырёхугольник $ACNA_1$. В нём две противоположные стороны $AA_1$ и $CN$ равны и параллельны по условию. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ACNA_1$ — это параллелограмм.

Площадь параллелограмма можно найти, удвоив площадь треугольника, образованного двумя его смежными сторонами и диагональю. Диагональ $A_1C$ делит параллелограмм $ACNA_1$ на два равных треугольника: $\triangle ACA_1$ и $\triangle CNA_1$. Значит, площадь параллелограмма равна:$S_{ACNA_1} = 2 \cdot S_{ACA_1}$.

Подставим ранее найденное значение площади треугольника $ACA_1$:$S_{AFNA_1} = S_{ACNA_1} = 2 \cdot \frac{S}{2} = S$.

Ответ: $S$.

22.71. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ проведён отрезок $EF$ параллельно стороне $AB$. Найдите площадь четырёхугольника $ABFE$, если $AB = EF$ и площадь треугольника $ABC$ равна $S$.

Пусть M - точка пересечения медиан (центроид) треугольника ABC. По условию, через точку M проведен отрезок EF, который параллелен стороне AB ($EF \parallel AB$) и равен ей по длине ($EF = AB$).

Рассмотрим четырехугольник ABFE. Так как у него две противоположные стороны AB и EF параллельны и равны, то ABFE является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь ABFE можно вычислить как $S_{ABFE} = AB \cdot h$, где $h$ - высота параллелограмма, то есть расстояние между параллельными прямыми AB и EF.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся свойствами медиан. Пусть $CK$ - медиана, проведенная из вершины C к стороне AB, а $CH$ - высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Обозначим длину этой высоты $h_C = CH$. Точка M лежит на медиане CK.

По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $CM : MK = 2:1$, что эквивалентно $CM = \frac{2}{3} CK$.

Рассмотрим две прямые $CK$ и $CH$, пересекающиеся в точке C. Эти прямые пересекают параллельные прямые $AB$ (в точках K и H соответственно) и $EF$ (пусть прямая $EF$ пересекает высоту $CH$ в точке Q). Поскольку точка M лежит на отрезке EF, то прямая EF проходит через M. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): $$ \frac{CM}{CK} = \frac{CQ}{CH} $$ Подставляя известное соотношение для медиан, получаем: $$ \frac{2}{3} = \frac{CQ}{CH} \implies CQ = \frac{2}{3} CH = \frac{2}{3} h_C $$ Высота параллелограмма $h$ - это расстояние между прямыми AB и EF, которое равно длине отрезка QH. $$ h = QH = CH - CQ = h_C - \frac{2}{3} h_C = \frac{1}{3} h_C $$

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABFE: $$ S_{ABFE} = AB \cdot h = AB \cdot \left(\frac{1}{3} h_C\right) = \frac{1}{3} (AB \cdot h_C) $$

Площадь треугольника ABC по условию равна S. Она вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} AB \cdot h_C$. Отсюда мы можем выразить произведение основания на высоту треугольника: $AB \cdot h_C = 2S$.

Подставим это выражение в формулу для площади параллелограмма: $$ S_{ABFE} = \frac{1}{3} (2S) = \frac{2S}{3} $$

Ответ: $\frac{2S}{3}$.

22.72. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ и образует с ней угол, равный углу между диагоналями. Найдите этот угол.

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник, а $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По определению серединного перпендикуляра, он проходит через середину отрезка $AC$, которой является точка $O$, и перпендикулярен прямой $AC$.

Пусть $K$ — точка пересечения перпендикуляра $l$ со стороной $BC$. Таким образом, прямая $OK$ совпадает с серединным перпендикуляром $l$.

Обозначим искомый угол через $\alpha$. Углом между прямыми (в данном случае, между диагоналями) принято считать острый угол. Пусть острый угол между диагоналями равен $\alpha$. В прямоугольнике диагонали образуют две пары равных вертикальных углов. Пусть $\angle AOB = \angle COD = \alpha$. Тогда смежные с ними углы равны $180^\circ - \alpha$, то есть $\angle BOC = \angle AOD = 180^\circ - \alpha$.

По условию задачи, угол, который серединный перпендикуляр $l$ (прямая $OK$) образует со стороной $BC$, равен углу между диагоналями, то есть $\alpha$. Таким образом, $\angle OKC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OB = OC$. Следовательно, треугольник $\triangle OBC$ является равнобедренным. Углы при его основании $BC$ равны: $\angle OCB = \angle OBC$. Сумма углов в треугольнике $\triangle OBC$ составляет $180^\circ$:

$\angle OCB + \angle OBC + \angle BOC = 180^\circ$

Подставим $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$:

$2\angle OCB + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$2\angle OCB = \alpha$

$\angle OCB = \frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OCK$. В нем нам известны или могут быть выражены через $\alpha$ все три угла.

1. Угол $\angle OCK$ — это тот же угол, что и $\angle OCB$, поэтому $\angle OCK = \frac{\alpha}{2}$.

2. Угол $\angle OKC$ по условию равен $\alpha$.

3. Прямая $OK$ является серединным перпендикуляром к диагонали $AC$. Это означает, что прямая $OK$ перпендикулярна прямой $AC$. Поскольку отрезок $OC$ лежит на прямой $AC$, то $\angle KOC = 90^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle OCK$ равна $180^\circ$:

$\angle KOC + \angle OCK + \angle OKC = 180^\circ$

Подставим выражения для углов через $\alpha$:

$90^\circ + \frac{\alpha}{2} + \alpha = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$\frac{3\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ$

$\frac{3\alpha}{2} = 90^\circ$

$3\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Мы нашли, что искомый угол равен $60^\circ$. Это значение является острым углом, что соответствует нашему предположению.

Ответ: $60^\circ$.

22.73. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Серединный перпендикуляр к его диагонали $AC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

По определению серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то расстояния от $M$ до точек $A$ и $C$ равны:

$AM = MC$.

Из условия задачи известно, что $BM : MC = 1 : 2$. Примем длину отрезка $BM$ за $x$. Тогда длина отрезка $MC$ будет равна $2x$.

$BM = x$

$MC = 2x$

Так как $AM = MC$, то $AM = 2x$.

Длина стороны $BC$ прямоугольника равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:

$BC = BM + MC = x + 2x = 3x$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABM$ — прямоугольный. Применим к нему теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AM^2 = AB^2 + BM^2$

$(2x)^2 = AB^2 + x^2$

$4x^2 = AB^2 + x^2$

$AB^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$

$AB = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Углы, на которые диагональ $AC$ делит угол прямоугольника, это $\angle BCA$ и $\angle BAC$. Найдем один из этих углов, например, $\angle BCA$, через тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{x\sqrt{3}}{3x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$.

Следовательно, $\angle BCA = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому второй искомый угол $\angle BAC$ равен:

$\angle BAC = 90^\circ - \angle BCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, диагональ прямоугольника делит его угол на углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

22.74. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна $a$, а один из углов — $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим основания трапеции как $b_1$ и $b_2$, а боковые стороны как $c$. По условию задачи, боковая сторона равна $a$, то есть $c = a$. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны.

По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $b_1 + b_2 = c + c = 2c$ Подставив значение $c = a$, получаем сумму оснований: $b_1 + b_2 = 2a$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Подставим найденную сумму оснований в эту формулу: $S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$

Теперь найдём высоту $h$. В равнобокой трапеции углы при основании равны. По условию, один из углов равен $60^\circ$. Это острый угол при большем основании. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции $a$, один из острых углов равен $60^\circ$, а противолежащим этому углу катетом является высота трапеции $h$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $h = a \cdot \sin(60^\circ)$ Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим высоту: $h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Наконец, подставим найденное значение высоты $h$ в формулу для площади: $S = a \cdot h = a \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

22.75. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 16 см, а острый угол – $30^\circ$. Найдите площадь этой трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями, $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (и, следовательно, высота трапеции), а $CD$ — большая боковая сторона. Из условия задачи имеем: $CD = 16$ см, острый угол $\angle D = 30^\circ$.

Для нахождения высоты трапеции $h$ опустим перпендикуляр $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В результате получим прямоугольный треугольник $CHD$, в котором гипотенуза $CD = 16$ см, а катет $CH$ равен высоте трапеции $h$.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, мы можем найти высоту $h$:

$h = CH = AB = CD \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

По условию, в трапецию можно вписать окружность. Это означает, что суммы длин противоположных сторон трапеции равны:

$AB + CD = AD + BC$

Подставив известные значения длин боковых сторон, найдем сумму оснований:

$8 + 16 = AD + BC$

$AD + BC = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Теперь подставим найденные значения суммы оснований и высоты в формулу площади:

$S = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: 96 см².

22.76. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен $R$, а один из углов трапеции - $45^{\circ}$. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2R$.

Поскольку трапеция равнобокая, ее углы при основании равны. В условии сказано, что один из углов равен $45^\circ$. Это острый угол при большем основании. Обозначим трапецию как $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Тогда $\angle A = \angle D = 45^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором катет $BH = h = 2R$, а угол $\angle BAH = 45^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник $ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH = 2R$.

Боковую сторону трапеции $c = AB$ можно найти по теореме Пифагора для треугольника $ABH$:

$c = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{(2R)^2 + (2R)^2} = \sqrt{4R^2 + 4R^2} = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R$.

Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это свойство выглядит так: $a + b = c + c = 2c$.

Подставим найденное значение боковой стороны $c$:

$a + b = 2 \cdot (2\sqrt{2}R) = 4\sqrt{2}R$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим в нее известные нам значения:

$S = \frac{4\sqrt{2}R}{2} \cdot (2R) = 2\sqrt{2}R \cdot 2R = 4\sqrt{2}R^2$.

Ответ: $4\sqrt{2}R^2$.

22.77. Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см, а диагональ делит её тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию, $AD = 17$ см, $BC = 1$ см. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Пусть диагональ AC делит тупой угол BCD пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей AC.

Из двух предыдущих утверждений следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как два его угла равны ($\angle ACD = \angle CAD$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие против равных углов, равны. Следовательно, $CD = AD$.

Так как $AD = 17$ см, то и боковая сторона $CD = 17$ см.

Для нахождения площади трапеции нам необходима её высота. Проведём высоту CH из вершины C к основанию AD. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Гипотенуза $CD = 17$ см, катет $HD = 8$ см. Найдём второй катет CH, который является высотой трапеции $h$, по теореме Пифагора:

$h^2 = CD^2 - HD^2$

$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим известные значения:

$S = \frac{17 + 1}{2} \cdot 15 = \frac{18}{2} \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135$ см².

Ответ: 135 см².

22.78. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 15$ см, а большее основание $AD = 33$ см. Диагональ AC делит острый угол $\angle DAB$ пополам.

1. Нахождение боковой стороны

Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла $\angle DAB$, то $\angle CAD = \angle CAB$.
Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), поэтому углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
Из этих двух равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$.
Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Так как $BC = 15$ см, то и боковая сторона $AB = 15$ см.
Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 15$ см.

2. Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершины B высоту BH на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок AH, отсекаемый высотой от большего основания, можно найти по формуле:
$AH = \frac{AD - BC}{2}$
Подставим значения оснований:
$AH = \frac{33 - 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем высоту BH:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$BH = \sqrt{144} = 12$ см.
Таким образом, высота трапеции равна 12 см.

3. Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где a и b — основания, а h — высота.
Подставим наши значения:
$S = \frac{33 + 15}{2} \cdot 12 = \frac{48}{2} \cdot 12 = 24 \cdot 12 = 288$ см².

Ответ: 288 см².

22.79. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB = CD$. Проведем высоту $CH$ из вершины тупого угла $C$ на большее основание $AD$. Диагональ $BD$ пересекает высоту $CH$ в точке $O$.

По условию, точка $O$ делит высоту $CH$ на отрезки длиной 10 см и 8 см. Таким образом, полная высота трапеции $h = CH = 10 + 8 = 18$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle DHO$.

1. Углы $\angle BOC$ и $\angle DOH$ равны как вертикальные.

2. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то прямая $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CBO$ и $\angle HDO$ равны.

Из этого следует, что треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle DHO$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{BC}{DH} = \frac{CO}{OH}$

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, какой из отрезков, $CO$ или $OH$, равен 10 см.

Случай 1: $CO = 10$ см и $OH = 8$ см.

В этом случае отношение сторон равно $\frac{BC}{DH} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. По условию задачи, меньшее основание равно боковой стороне: $BC = CD$. Обозначим эту длину как $x$. Тогда $BC = x$, и из отношения подобия получаем $DH = \frac{4}{5}BC = \frac{4}{5}x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDH$ (поскольку $CH$ — высота). По теореме Пифагора:$CD^2 = CH^2 + DH^2$

Подставим известные значения:$x^2 = 18^2 + (\frac{4}{5}x)^2$$x^2 = 324 + \frac{16}{25}x^2$$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 324$$\frac{9}{25}x^2 = 324$$x^2 = \frac{324 \cdot 25}{9} = 36 \cdot 25 = 900$$x = \sqrt{900} = 30$ см.

Итак, меньшее основание $BC = 30$ см. Найдем отрезок $DH = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24$ см. Так как трапеция равнобокая, большее основание $AD$ можно найти по формуле $AD = BC + 2 \cdot DH$.$AD = 30 + 2 \cdot 24 = 30 + 48 = 78$ см. Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{30 + 78}{2} \cdot 18 = \frac{108}{2} \cdot 18 = 54 \cdot 18 = 972$ см².

Случай 2: $CO = 8$ см и $OH = 10$ см.

В этом случае отношение сторон равно $\frac{BC}{DH} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Пусть, как и ранее, $BC = CD = x$. Тогда $DH = \frac{5}{4}BC = \frac{5}{4}x$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle CDH$:$CD^2 = CH^2 + DH^2$$x^2 = 18^2 + (\frac{5}{4}x)^2$$x^2 = 324 + \frac{25}{16}x^2$$x^2 - \frac{25}{16}x^2 = 324$$-\frac{9}{16}x^2 = 324$

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат длины отрезка ($x^2$) не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно верным является первый случай.

Ответ: 972 см².

22.80. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 20 см и 12 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $\angle A = \angle B = 90^\circ$. $CD$ — большая боковая сторона, а $C$ — вершина тупого угла.

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Поскольку $AB$ также является высотой, то $AB = CH$, и четырёхугольник $ABCH$ — прямоугольник. Отсюда следует, что $AH = BC$.

Большей диагональю в такой трапеции является $BD$. По условию, диагональ $BD$ пересекает высоту $CH$ в точке $K$ и делит её на отрезки длиной 20 см и 12 см. Таким образом, высота трапеции $h = CH = 20 + 12 = 32$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle DKH$.

• $\angle KBC = \angle KDH$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).
• $\angle BKC = \angle DKH$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle BKC \sim \triangle DKH$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BC}{DH} = \frac{CK}{KH}$

По условию задачи, большая боковая сторона $CD$ равна меньшему основанию $BC$. Обозначим $BC = CD = x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$ (угол $H$ — прямой). По теореме Пифагора:

$CD^2 = CH^2 + DH^2$

Подставим известные значения и переменные:

$x^2 = 32^2 + DH^2$

Из соотношения подобия выразим $DH$: $DH = BC \cdot \frac{KH}{CK} = x \cdot \frac{KH}{CK}$. Подставим это выражение в уравнение теоремы Пифагора:

$x^2 = 32^2 + \left(x \cdot \frac{KH}{CK}\right)^2$

$x^2 - x^2 \left(\frac{KH}{CK}\right)^2 = 32^2$

$x^2 \left(1 - \left(\frac{KH}{CK}\right)^2\right) = 1024$

Так как $x^2$ должно быть положительным числом, то и выражение в скобках должно быть положительным:

$1 - \left(\frac{KH}{CK}\right)^2 > 0 \implies 1 > \frac{KH^2}{CK^2} \implies CK^2 > KH^2 \implies CK > KH$.

Это означает, что $CK$ — больший из двух отрезков, то есть $CK = 20$ см, а $KH = 12$ см.

Теперь можем найти $x$:

$x^2 \left(1 - \left(\frac{12}{20}\right)^2\right) = 1024$

$x^2 \left(1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2\right) = 1024$

$x^2 \left(1 - \frac{9}{25}\right) = 1024$

$x^2 \cdot \frac{16}{25} = 1024$

$x^2 = \frac{1024 \cdot 25}{16} = 64 \cdot 25 = 1600$

$x = \sqrt{1600} = 40$ см.

Итак, меньшее основание $BC = 40$ см. Найдём отрезок $DH$:

$DH = BC \cdot \frac{KH}{CK} = 40 \cdot \frac{12}{20} = 24$ см.

Большее основание $AD = AH + DH$. Так как $AH = BC$, то $AD = 40 + 24 = 64$ см.

Теперь найдём площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{64 + 40}{2} \cdot 32 = \frac{104}{2} \cdot 32 = 52 \cdot 32 = 1664$ см$^2$.

Ответ: 1664 см$^2$.

22.81. Меньшая диагональ прямоугольной трапеции делит её тупой угол пополам, а другую диагональ делит в отношении $5 : 2$, считая от вершины острого угла. Найдите периметр трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 12 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и прямыми углами при вершинах $A$ и $B$. Меньшая боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и по условию её длина равна $AB = 12$ см. Тупой угол трапеции — это $\angle BCD$, а острый — $\angle ADC$.

Меньшая диагональ в такой трапеции — это $AC$. По условию, она делит тупой угол $\angle BCD$ пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD$.

Из равенств $\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$ следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это значит, что треугольник $\triangle ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AD = CD$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ в отношении $5:2$, считая от вершины острого угла $D$. Таким образом, $DO:OB = 5:2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Они подобны по двум углам:

1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle CBO = \angle ADO$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BC}{AD} = \frac{OB}{DO}$

Так как $DO:OB = 5:2$, то $\frac{OB}{DO} = \frac{2}{5}$. Следовательно, $\frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$.

Введём коэффициент пропорциональности $x$. Пусть $BC = 2x$, тогда $AD = 5x$. Поскольку мы ранее установили, что $AD = CD$, то $CD = 5x$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $ABCH$ — прямоугольник, и $CH = AB = 12$ см, а $AH = BC = 2x$.

Длина отрезка $HD$ на большем основании равна разности длин $AD$ и $AH$:

$HD = AD - AH = 5x - 2x = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Применим к нему теорему Пифагора: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.

Подставим известные значения:

$12^2 + (3x)^2 = (5x)^2$

$144 + 9x^2 = 25x^2$

$16x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{16} = 9$

$x = 3$ (длина стороны может быть только положительной).

Теперь найдём длины сторон трапеции:

• Меньшая боковая сторона: $AB = 12$ см.
• Меньшее основание: $BC = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.
• Большее основание: $AD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.
• Большая боковая сторона: $CD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Периметр трапеции — это сумма длин всех её сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 12 + 6 + 15 + 15 = 48$ см.

Ответ: 48 см.