Страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.13. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, как показано на рисунке 22.2. Найдите сторону $BC$ треугольника, если $AC = 15 \text{ см}$, а сторона ромба равна $10 \text{ см}$.

Рис. 22.2

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$. Это означает, что вершина $C$ у них общая, вершина $D$ лежит на стороне $AC$, вершина $F$ — на стороне $BC$, а вершина $E$ — на стороне $AB$.

Нам даны длины стороны ромба и стороны треугольника $AC$:

$CD = DE = EF = FC = 10$ см.

$AC = 15$ см.

Нужно найти длину стороны $BC$.

По определению ромба, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, сторона $EF$ параллельна стороне $CD$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сторона ромба $CD$ является частью стороны треугольника $AC$. Таким образом, прямая, содержащая $CD$, совпадает с прямой, содержащей $AC$.

Из этого следует, что сторона ромба $EF$ параллельна стороне треугольника $AC$ ($EF \parallel AC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BEF$ и $\triangle BAC$.

Поскольку $EF \parallel AC$, то эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle B$ — общий угол.
2. $\angle BFE = \angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $BC$.

Из подобия треугольников $\triangle BEF \sim \triangle BAC$ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{BF}{BC} = \frac{EF}{AC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

• $EF = 10$ см (сторона ромба).
• $AC = 15$ см (дано по условию).
• Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BF$ и $FC$. То есть, $BC = BF + FC$.
• $FC = 10$ см (сторона ромба).
• Отсюда мы можем выразить $BF$: $BF = BC - FC = BC - 10$.

Подставим выражение для $BF$ и известные длины в пропорцию:

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{10}{15}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{BC - 10}{BC} = \frac{2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $BC$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3 \cdot (BC - 10) = 2 \cdot BC$

$3 \cdot BC - 30 = 2 \cdot BC$

$3 \cdot BC - 2 \cdot BC = 30$

$BC = 30$ см.

Ответ: 30 см.

22.14. Точка $M$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$, точка $K$ — середина стороны $AC$. Площадь треугольника $AMK$ равна $12\text{ см}^2$. Чему равна площадь четырёхугольника $BMKC$?

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMK$. По условию задачи, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $AC$. Это означает, что $AM = \frac{1}{2}AB$ и $AK = \frac{1}{2}AC$. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.

Сравним треугольники $AMK$ и $ABC$. У них есть общий угол $\angle A$, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $$ \frac{AM}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{AK}{AC} = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2} $$ Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AMK \sim \triangle ABC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон, то есть $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$

Зная, что площадь треугольника $AMK$ равна $12 \text{ см}^2$, мы можем найти площадь треугольника $ABC$: $$ S_{ABC} = 4 \cdot S_{AMK} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2 $$

Площадь четырёхугольника $BMKC$ представляет собой разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $AMK$: $$ S_{BMKC} = S_{ABC} - S_{AMK} = 48 - 12 = 36 \text{ см}^2 $$

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

22.15. Точка $D$ — середина стороны $AB$ треугольника $ABC$, точка $E$ — середина стороны $BC$. Площадь четырёхугольника $ADEC$ равна $27$ см$^2$. Чему равна площадь треугольника $ABC$?

Поскольку точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, отрезок $DE$ является его средней линией.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $DE \parallel AC$. Это означает, что треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, а $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$, $AC$ и секущей $AB$).

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответствующих сторон: $k = \frac{BD}{BA}$. Так как $D$ — середина $AB$, то $BD = \frac{1}{2}AB$, следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Обозначим площади треугольников как $S_{DBE}$ и $S_{ABC}$. Тогда: $\frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда следует, что $S_{DBE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Площадь четырехугольника $ADEC$ представляет собой разность площадей треугольников $ABC$ и $DBE$: $S_{ADEC} = S_{ABC} - S_{DBE}$. Подставив в это уравнение найденное соотношение площадей, получаем: $S_{ADEC} = S_{ABC} - \frac{1}{4}S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC}$.

По условию задачи, $S_{ADEC} = 27$ см². Теперь можем найти площадь всего треугольника $ABC$. Из равенства $27 = \frac{3}{4}S_{ABC}$ получаем $S_{ABC} = \frac{27 \cdot 4}{3} = 9 \cdot 4 = 36$ см².

Ответ: 36 см².

22.16. Отрезок $CM$ — медиана треугольника $ABC$, изображённого на рисунке 22.3, отрезок $DE$ — средняя линия треугольника $MBC$. Чему равна площадь четырёхугольника $MDEC$, если площадь треугольника $ABC$ равна $48 \, \text{см}^2$?

Рис. 22.3

1. Так как отрезок $CM$ является медианой треугольника $ABC$, он делит его на два треугольника с равной площадью: $\triangle AMC$ и $\triangle MBC$. Следовательно, площадь треугольника $MBC$ равна половине площади треугольника $ABC$.

$S_{MBC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$.

2. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника $MBC$. По свойству средней линии, она отсекает от треугольника $MBC$ подобный ему треугольник $DBE$. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{DBE}}{S_{MBC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $DBE$:

$S_{DBE} = \frac{1}{4} S_{MBC} = \frac{1}{4} \cdot 24 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

4. Площадь четырёхугольника $MDEC$ можно найти как разность площадей треугольника $MBC$ и треугольника $DBE$, который является его частью:

$S_{MDEC} = S_{MBC} - S_{DBE} = 24 \text{ см}^2 - 6 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2$.

Ответ: $18 \text{ см}^2$.

22.17. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его сторону $AB$ в точке $M$, а сторону $BC$ — в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BM = 3$ см, $AM = 4$ см, а площадь четырёхугольника $AMKC$ равна $80 \text{ см}^2$.

Поскольку прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ треугольника $ABC$, то треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AB$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон.

Найдем длину стороны $AB$:
$AB = AM + BM = 4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение сторон $BM$ и $AB$:
$k = \frac{BM}{AB} = \frac{3}{7}$.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $MBK$ и $ABC$:
$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$.

Отсюда можем выразить площадь треугольника $MBK$ через площадь треугольника $ABC$:
$S_{\triangle MBK} = \frac{9}{49} S_{\triangle ABC}$.

Площадь четырехугольника $AMKC$ равна разности площадей треугольника $ABC$ и треугольника $MBK$:
$S_{AMKC} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle MBK}$.
По условию, $S_{AMKC} = 80 \text{ см}^2$. Подставим это значение и выражение для $S_{\triangle MBK}$ в формулу:
$80 = S_{\triangle ABC} - \frac{9}{49} S_{\triangle ABC}$.

Вынесем $S_{\triangle ABC}$ за скобки и решим уравнение:
$80 = S_{\triangle ABC} (1 - \frac{9}{49})$
$80 = S_{\triangle ABC} (\frac{49-9}{49})$
$80 = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{40}{49}$
$S_{\triangle ABC} = 80 \div \frac{40}{49} = 80 \cdot \frac{49}{40} = 2 \cdot 49 = 98$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ составляет $98 \text{ см}^2$.

Ответ: $98 \text{ см}^2$.

22.18. Площадь треугольника $ABC$ равна $18 \text{ см}^2$. На стороне $AB$ отметили точки $K$ и $D$ так, что $AK = KD = DB$, а на стороне $AC$ — точки $F$ и $E$ так, что $AF = FE = EC$. Найдите площадь четырёхугольника $DEFK$.

Площадь искомого четырёхугольника DEFK можно найти как разность площадей треугольников ADE и AKF: $S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF}$.

Площадь треугольника выражается формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Площадь треугольника ABC равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = 18$ см².

Из условия задачи известно, что точки K и D делят сторону AB на три равные части: $AK = KD = DB$. Следовательно, мы можем выразить длины отрезков AK и AD через длину стороны AB:

$AK = \frac{1}{3} AB$

$AD = AK + KD = \frac{1}{3} AB + \frac{1}{3} AB = \frac{2}{3} AB$

Аналогично, точки F и E делят сторону AC на три равные части: $AF = FE = EC$. Выразим длины отрезков AF и AE через длину стороны AC:

$AF = \frac{1}{3} AC$

$AE = AF + FE = \frac{1}{3} AC + \frac{1}{3} AC = \frac{2}{3} AC$

Теперь найдём площади треугольников AKF и ADE. Они имеют общий угол A с треугольником ABC.

Площадь треугольника AKF:

$S_{AKF} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AF \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{1}{3} AC\right) \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)\right) = \frac{1}{9} S_{ABC}$.

Подставив значение площади $S_{ABC}$, получаем:

$S_{AKF} = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$ см².

Площадь треугольника ADE:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{2}{3} AC\right) \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{4}{9} \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)\right) = \frac{4}{9} S_{ABC}$.

Подставив значение площади $S_{ABC}$, получаем:

$S_{ADE} = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8$ см².

Наконец, вычисляем площадь четырёхугольника DEFK:

$S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF} = 8 - 2 = 6$ см².

Ответ: 6 см².

22.19. Площадь треугольника ABC равна 24 см². На стороне AB отметили точки D и F так, что $AD = BF = \frac{1}{4} AB$, а на стороне BC — точки P и M так, что $CM = BP = \frac{1}{4} BC$. Найдите площадь четырёхугольника DFPM.

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника $DFPM$ как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $DP$: $S_{DFPM} = S_{\triangle DFP} + S_{\triangle DMP}$.

Сначала определим длины отрезков на сторонах $AB$ и $BC$ через длины самих сторон. По условию, на стороне $AB$ отмечены точки $D$ и $F$ так, что $AD = BF = \frac{1}{4}AB$. Тогда длина отрезка $DF$ равна:$DF = AB - AD - BF = AB - \frac{1}{4}AB - \frac{1}{4}AB = \frac{1}{2}AB$. Также нам понадобится длина отрезка $BD$:$BD = AB - AD = AB - \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB$. На стороне $BC$ отмечены точки $P$ и $M$ так, что $CM = BP = \frac{1}{4}BC$. Тогда длина отрезка $PM$ равна:$PM = BC - BP - CM = BC - \frac{1}{4}BC - \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}BC$.

Теперь найдем площадь треугольника $DFP$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем $DF$ за основание $\triangle DFP$. Длина основания $DF = \frac{1}{2}AB$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр $h_P$ из точки $P$ на прямую $AB$. Пусть $H_C$ — высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Тогда площадь $\triangle ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot H_C$. Поскольку точка $P$ лежит на стороне $BC$, из подобия треугольников (образованных высотами $h_P$ и $H_C$ и отрезками $BP$ и $BC$) следует, что $\frac{h_P}{H_C} = \frac{BP}{BC}$. Так как $BP = \frac{1}{4}BC$, то $h_P = \frac{1}{4}H_C$. Площадь $\triangle DFP$ равна:$S_{\triangle DFP} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot h_P = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{4}H_C) = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2}AB \cdot H_C) = \frac{1}{8}S_{ABC}$. Подставляя известное значение $S_{ABC} = 24$ см², получаем:$S_{\triangle DFP} = \frac{1}{8} \cdot 24 = 3$ см².

Далее найдем площадь треугольника $DMP$. Примем $PM$ за основание $\triangle DMP$. Длина основания $PM = \frac{1}{2}BC$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр $h_D$ из точки $D$ на прямую $BC$. Пусть $H_A$ — высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Тогда площадь $\triangle ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot H_A$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, из подобия треугольников (образованных высотами $h_D$ и $H_A$ и отрезками $BD$ и $BA$) следует, что $\frac{h_D}{H_A} = \frac{BD}{BA}$. Так как $BD = \frac{3}{4}AB$, то $h_D = \frac{3}{4}H_A$. Площадь $\triangle DMP$ равна:$S_{\triangle DMP} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot (\frac{3}{4}H_A) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{1}{2}BC \cdot H_A) = \frac{3}{8}S_{ABC}$. Подставляя известное значение $S_{ABC} = 24$ см², получаем:$S_{\triangle DMP} = \frac{3}{8} \cdot 24 = 9$ см².

Наконец, площадь четырехугольника $DFPM$ равна сумме площадей треугольников $DFP$ и $DMP$:$S_{DFPM} = S_{\triangle DFP} + S_{\triangle DMP} = 3 + 9 = 12$ см².

Ответ: 12 см².

22.20. Отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит вне этой окружности. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $M$ соответственно. Найдите угол $ACB$, если площади треугольников $DCM$ и $ACB$ относятся как $1 : 4$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle DCM$ и $\triangle ACB$. Угол $\angle C$ у них общий.

2. Точки $A, B, M, D$ лежат на окружности, следовательно, четырёхугольник $ABMD$ является вписанным. Одно из свойств вписанного четырёхугольника гласит, что внешний угол при одной из его вершин равен внутреннему углу при противоположной вершине. Для вершины $M$ четырёхугольника $ABMD$ внешний угол — это $\angle DMC$. Противоположная вершина — $A$. Следовательно, $\angle DMC = \angle DAB$. Так как $\angle DAB$ и $\angle CAB$ — это один и тот же угол, получаем $\angle DMC = \angle CAB$.

3. Таким образом, в треугольниках $\triangle DCM$ и $\triangle BCA$ есть два равных угла: $\angle C$ — общий, и $\angle DMC = \angle BAC$. Следовательно, $\triangle DCM$ подобен $\triangle BCA$ по двум углам.

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $ \frac{S_{DCM}}{S_{BCA}} = k^2 $ По условию задачи $\frac{S_{DCM}}{S_{ACB}} = \frac{1}{4}$, значит, $k^2 = \frac{1}{4}$, откуда $k = \frac{1}{2}$.

5. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон. Из подобия $\triangle DCM \sim \triangle BCA$ следует, что отношение стороны $CM$ (лежащей напротив угла $\angle CDM$) к стороне $CA$ (лежащей напротив угла $\angle CBA$) равно $k$: $ \frac{CM}{CA} = k = \frac{1}{2} $

6. Поскольку $AB$ — диаметр окружности, а точка $M$ лежит на этой окружности, вписанный угол $\angle AMB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

7. Точки $C, M, B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle AMC$ является смежным с углом $\angle AMB$. Следовательно, $\angle AMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle AMC$ — прямоугольный.

8. В прямоугольном треугольнике $\triangle AMC$ косинус угла $\angle C$ равен отношению прилежащего катета $CM$ к гипотенузе $AC$: $ \cos(\angle ACB) = \frac{CM}{AC} $ Из пункта 5 мы знаем, что $\frac{CM}{AC} = \frac{1}{2}$. Таким образом: $ \cos(\angle ACB) = \frac{1}{2} $

9. Угол в треугольнике находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственное значение угла из этого диапазона, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

22.21. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $F$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $MFB$ и $ABC$, если $\angle ABC = 45^{\circ}$.

Решение:

Пусть дана окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Эта окружность пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $F$.

Поскольку точки $M$ и $F$ лежат на окружности, а $AC$ является ее диаметром, то вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Таким образом, $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle AFC = 90^\circ$.

Это означает, что $CM$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $AB$, а $AF$ — высота, опущенная на сторону $BC$.

Запишем формулы для площадей треугольников $ABC$ и $MFB$ через синус общего угла $\angle B$ (или $\angle ABC$):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$

$S_{MFB} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot FB \cdot \sin(\angle B)$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot FB \cdot \sin(\angle B)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)} = \frac{MB}{AB} \cdot \frac{FB}{BC}$

Теперь выразим длины отрезков $MB$ и $FB$ через стороны треугольника $ABC$ и угол $\angle B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CMB$ (угол $\angle CMB = 90^\circ$, так как он смежный с $\angle AMC = 90^\circ$). В этом треугольнике отношение прилежащего катета $MB$ к гипотенузе $BC$ равно косинусу угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{MB}{BC}$, откуда $MB = BC \cdot \cos(\angle B)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AFB$ (угол $\angle AFB = 90^\circ$, так как он смежный с $\angle AFC = 90^\circ$). В этом треугольнике отношение прилежащего катета $FB$ к гипотенузе $AB$ равно косинусу угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{FB}{AB}$, откуда $FB = AB \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим полученные выражения для $MB$ и $FB$ в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \frac{BC \cdot \cos(\angle B)}{AB} \cdot \frac{AB \cdot \cos(\angle B)}{BC} = \cos^2(\angle B)$

По условию задачи $\angle ABC = \angle B = 45^\circ$. Найдем значение отношения:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$