Страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.22. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, $c$ — его гипотенуза, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. Для определенности будем считать, что $a \ge b$.

По условию задачи радиус вписанной окружности равен полуразности катетов. Математически это можно записать так:$r = \frac{a - b}{2}$

В то же время, существует общая формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, которая связывает его с длинами сторон:$r = \frac{a + b - c}{2}$

Поскольку левые части обоих выражений равны (это радиус $r$), мы можем приравнять их правые части:$\frac{a - b}{2} = \frac{a + b - c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя, и упростим полученное выражение:$a - b = a + b - c$$-b = b - c$$c = 2b$

Полученное соотношение $c = 2b$ означает, что в данном прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза длиннее одного из катетов.

Известно свойство прямоугольного треугольника: катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. В нашем случае катет $b$ равен половине гипотенузы $c$.

Пусть $\beta$ — это острый угол, противолежащий катету $b$. Синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$

Для острого угла $\beta$ из уравнения $\sin(\beta) = \frac{1}{2}$ следует, что $\beta = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Обозначим второй острый угол как $\alpha$. Тогда:$\alpha + \beta = 90^\circ$$\alpha = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Следовательно, острые углы данного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

22.23. Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Радиус вписанной окружности ($r$) для прямоугольного треугольника находится по формуле:
$r = \frac{a + b - c}{2}$

Радиус описанной окружности ($R$) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, так как центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы:
$R = \frac{c}{2}$

Согласно условию задачи, сумма этих радиусов равна одному из катетов. Без ограничения общности, предположим, что она равна катету $a$:
$r + R = a$

Подставим выражения для $r$ и $R$ в это равенство:
$\frac{a + b - c}{2} + \frac{c}{2} = a$

Теперь решим полученное уравнение:
$\frac{a + b - c + c}{2} = a$
$\frac{a + b}{2} = a$
$a + b = 2a$
$b = 2a - a$
$b = a$

Из равенства $a = b$ следует, что катеты треугольника равны. Следовательно, данный прямоугольный треугольник является равнобедренным.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, его острые углы при основании (гипотенузе) равны. Таким образом, каждый острый угол равен:
$\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Ответ: острые углы треугольника равны $45^\circ$ и $45^\circ$.

22.24. Докажите, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = p(p-c)$, где $p$ — полупериметр треугольника, $c$ — длина гипотенузы.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника находится по формуле половины произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Полупериметр $p$ треугольника — это половина суммы длин всех его сторон:
$p = \frac{a+b+c}{2}$

Нам необходимо доказать справедливость формулы $S = p(p-c)$. Для этого преобразуем правую часть этой формулы, подставив в нее выражение для полупериметра $p$.
$p(p-c) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b+c}{2} - c\right)$

Выполним вычитание во второй скобке, приведя к общему знаменателю:
$p(p-c) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b+c-2c}{2}\right) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b-c}{2}\right)$

Теперь перемножим дроби:
$p(p-c) = \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}$

В числителе дроби можно применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = a+b$, а $y = c$:
$p(p-c) = \frac{(a+b)^2 - c^2}{4}$

Раскроем квадрат суммы в числителе:
$p(p-c) = \frac{a^2+2ab+b^2 - c^2}{4}$

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это соотношение в наше выражение:
$p(p-c) = \frac{(a^2+b^2) - c^2 + 2ab}{4} = \frac{c^2 - c^2 + 2ab}{4} = \frac{2ab}{4}$

Сократив дробь, получаем:
$p(p-c) = \frac{1}{2}ab$

Полученное выражение $\frac{1}{2}ab$ является формулой площади прямоугольного треугольника $S$. Таким образом, мы доказали, что $S = p(p-c)$.

Ответ: Утверждение доказано.

22.25. Докажите, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S=(p-a)(p-b)$, где $p$ — полупериметр треугольника, $a$ и $b$ — длины катетов.

22.25.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Площадь $S$ такого треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab$

Полупериметр $p$ треугольника — это половина его периметра:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

Для доказательства формулы $S = (p-a)(p-b)$ преобразуем ее правую часть, подставив в нее выражение для полупериметра $p$.

$(p-a)(p-b) = \left(\frac{a+b+c}{2} - a\right) \left(\frac{a+b+c}{2} - b\right)$

Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю:

$\left(\frac{a+b+c-2a}{2}\right) \left(\frac{a+b+c-2b}{2}\right) = \left(\frac{b+c-a}{2}\right) \left(\frac{a+c-b}{2}\right)$

Перемножим дроби. В числителе сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Пусть $x=c$ и $y=a-b$. Тогда числитель примет вид:

$(c-(a-b))(c+(a-b)) = c^2 - (a-b)^2$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{4} = \frac{c^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$\frac{c^2 - (a^2+b^2) + 2ab}{4}$

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, $a^2 + b^2 = c^2$. Заменим $a^2+b^2$ на $c^2$:

$\frac{c^2 - c^2 + 2ab}{4} = \frac{2ab}{4} = \frac{ab}{2}$

Полученное выражение $\frac{ab}{2}$ является формулой площади прямоугольного треугольника $S$. Следовательно, мы доказали, что $(p-a)(p-b) = S$.

Ответ: Утверждение доказано.

22.26. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 12$ см (больший катет) и $BC = 5$ см (меньший катет).

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, который лежит на гипотенузе $AB$. Окружность касается большего катета $AC$ в точке $K$ и проходит через вершину $B$ (вершина острого угла, противолежащего большему катету $AC$).

Так как окружность проходит через точку $B$, то отрезок $OB$ является радиусом окружности. Обозначим радиус как $R$, тогда $OB = R$.

Так как окружность касается катета $AC$ в точке $K$, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть, $OK \perp AC$ и $OK = R$.

Рассмотрим треугольники $AOK$ и $ABC$.

Поскольку $OK \perp AC$ и $BC \perp AC$ (так как $\angle C = 90^\circ$), то прямые $OK$ и $BC$ параллельны ($OK \parallel BC$).

Если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Следовательно, треугольник $AOK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AOK \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AO}{AB} = \frac{OK}{BC}$

Мы знаем, что $AB = 13$, $BC = 5$, $OK = R$. Точка $O$ лежит на гипотенузе $AB$, поэтому $AB = AO + OB$. Подставив $OB = R$ и $AB=13$, получим $AO = AB - OB = 13 - R$.

Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{13 - R}{13} = \frac{R}{5}$

Решим это уравнение относительно $R$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot (13 - R) = 13 \cdot R$

$65 - 5R = 13R$

$65 = 13R + 5R$

$65 = 18R$

$R = \frac{65}{18}$

Ответ: $ \frac{65}{18} $ см.

22.27. В треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет $BC$ в точке $D$. Докажите, что $DE = DB$.

Чтобы доказать, что $DE = DB$, мы докажем, что треугольник $DBE$ является равнобедренным с основанием $BE$. Для этого необходимо показать равенство углов при основании: $\angle DEB = \angle DBE$.

Обозначим $\angle CBA = \beta$. Так как точка $D$ лежит на катете $BC$ и точка $E$ лежит на гипотенузе $AB$, то угол $\angle DBE$ совпадает с углом $\angle CBA$, следовательно, $\angle DBE = \beta$.

По условию задачи, на катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Точка $E$ находится на этой окружности. Угол $\angle AEC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. Следовательно, $\angle AEC = 90^\circ$.

Точки $A$, $E$ и $B$ лежат на одной прямой (гипотенузе), поэтому угол $\angle CEB$ является смежным с углом $\angle AEC$. Его величина равна $\angle CEB = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, отрезок $CE$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на гипотенузу.

Рассмотрим прямую $BC$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$. Поскольку $AC$ — диаметр окружности, прямая $BC$ является касательной к окружности в точке $C$. По условию, прямая $DE$ также является касательной к этой окружности, но в точке $E$. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки $D$, равны между собой. Следовательно, $DC = DE$.

Равенство отрезков $DC = DE$ означает, что треугольник $DCE$ является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle DCE = \angle DEC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$ ($\angle CEB = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle BCE + \angle CBE = 90^\circ$. Мы уже обозначили $\angle CBE = \beta$, поэтому $\angle BCE = 90^\circ - \beta$.

Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$, то $\angle DCE$ совпадает с $\angle BCE$, то есть $\angle DCE = 90^\circ - \beta$.

Из равнобедренного треугольника $DCE$ следует, что $\angle DEC = \angle DCE = 90^\circ - \beta$.

Угол $\angle CEB$ можно представить как сумму углов $\angle DEC$ и $\angle DEB$, так как луч $ED$ проходит внутри угла $CEB$. Таким образом, $\angle CEB = \angle DEC + \angle DEB$.

Подставим известные нам значения в это равенство: $90^\circ = (90^\circ - \beta) + \angle DEB$.

Выражая $\angle DEB$ из этого уравнения, получаем: $\angle DEB = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$.

В итоге мы установили, что в треугольнике $DBE$ оба угла при основании $BE$ равны $\beta$: $\angle DBE = \beta$ и $\angle DEB = \beta$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $DE = DB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = DB$ доказано.

22.28. Касательная в точке $A$ к окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает прямую $BC$ в точке $D$, отрезок $AE$ – биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $AD = DE$.

Для того чтобы доказать, что $AD = DE$, мы докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным. Для этого достаточно показать, что углы при его основании $AE$ равны, то есть $\angle DAE = \angle DEA$.

1. Рассмотрим угол $\angle DAE$.
Пусть $AD$ — касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $AD$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, который опирается на эту хорду. Таким образом,$\angle DAC = \angle ABC$.
По условию, отрезок $AE$ — биссектриса угла $BAC$, следовательно,$\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2}\angle BAC$.
Угол $\angle DAE$ можно выразить как сумму или разность углов в зависимости от расположения точки $D$. Рассмотрим случай, когда точка $C$ лежит между $B$ и $D$. Тогда угол $\angle DAE$ является суммой углов $\angle DAC$ и $\angle CAE$:$\angle DAE = \angle DAC + \angle CAE = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.

2. Рассмотрим угол $\angle DEA$.
Угол $\angle AEC$ является внешним углом для треугольника $ABE$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\angle AEC = \angle ABE + \angle BAE$.
Так как $\angle ABE$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$, а $\angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC$, то получаем:$\angle AEC = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.
Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BC$, а точка $D$ — на продолжении этого отрезка, то углы $\angle DEA$ и $\angle AEC$ совпадают. Следовательно,$\angle DEA = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$.

3. Сравнение углов.
Мы получили следующие выражения для углов:$\angle DAE = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$$\angle DEA = \angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC$Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle DEA$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AD = DE$.

(Примечание: если точка $B$ лежит между $D$ и $C$, то по теореме об угле между касательной и хордой $\angle DAB = \angle ACB$. Тогда $\angle DAE = \angle DAB + \angle BAE = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC$. Внешний угол $\angle AEB$ для треугольника $ACE$ будет равен $\angle ACE + \angle CAE = \angle ACB + \frac{1}{2}\angle BAC$. Так как $\angle DEA = \angle AEB$, равенство $\angle DAE = \angle DEA$ сохраняется, и доказательство остается верным.)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = DE$ доказано.

22.29. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведённая к основанию, — $4\sqrt{91}$ см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 40$ см и основанием $AC$. Высота, проведённая к основанию, – это $BH$, где $H$ – точка на $AC$. По условию $BH = 4\sqrt{91}$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому точка $H$ делит основание $AC$ пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём половину основания $AH$: $AH^2 + BH^2 = AB^2$ $AH^2 + (4\sqrt{91})^2 = 40^2$ $AH^2 + 16 \cdot 91 = 1600$ $AH^2 + 1456 = 1600$ $AH^2 = 1600 - 1456$ $AH^2 = 144$ $AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Следовательно, длина всего основания $AC$ равна: $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $\angle BAC$ (точка $D$ лежит на стороне $BC$) и $CE$ – биссектриса угла при основании $\angle BCA$ (точка $E$ лежит на стороне $AB$). Требуется найти расстояние между точками $D$ и $E$, то есть длину отрезка $DE$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ справедливо соотношение, по которому биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$ Подставим известные значения: $\frac{CD}{DB} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = CD + DB$. По условию $BC = 40$ см. Пусть $CD = 3x$, тогда $DB = 5x$. $3x + 5x = 40$ $8x = 40$ $x = 5$ см. Отсюда находим длину отрезка $DB$: $DB = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Следовательно, биссектриса $CE$ делит боковую сторону $AB$ в том же отношении, что и биссектриса $AD$ сторону $BC$. $\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ Зная, что $AB = AE + EB = 40$ см, находим длину отрезка $EB$: $EB = \frac{5}{3+5} \cdot AB = \frac{5}{8} \cdot 40 = 25$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BDE$ и исходный треугольник $BAC$. 1. У них общий угол $\angle B$. 2. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны: $\frac{BD}{BC} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$ $\frac{BE}{BA} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$

Поскольку две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то треугольники $BDE$ и $BAC$ подобны по второму признаку подобия. $\triangle BDE \sim \triangle BAC$

Из подобия треугольников следует пропорциональность всех их соответствующих сторон с коэффициентом подобия $k = \frac{5}{8}$: $\frac{DE}{AC} = k = \frac{5}{8}$ Теперь можем найти длину искомого отрезка $DE$: $DE = AC \cdot \frac{5}{8} = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.

22.30. Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведённая к нему, — 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, длина основания $AC = 40$ см, а высота $BH = 15$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$ $AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Поскольку треугольник равнобедренный и симметричен относительно высоты $BH$, точка касания окружности с основанием $AC$ будет совпадать с точкой $H$.

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, они равны. Для вершины $A$ имеем: $AK = AH = 20$ см.

Зная длину боковой стороны $AB$ и длину отрезка $AK$, найдем длину отрезка $BK$: $BK = AB - AK = 25 - 20 = 5$ см. Аналогично для стороны $BC$: $CL = CH = 20$ см, и $BL = BC - CL = 25 - 20 = 5$ см.

Рассмотрим треугольники $BKL$ и $BAC$. У них общий угол $\angle B$. Сравним отношения сторон, образующих этот угол: $\frac{BK}{AB} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ $\frac{BL}{BC} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Поскольку стороны, образующие угол $\angle B$, пропорциональны ($\frac{BK}{AB} = \frac{BL}{BC}$), то треугольник $BKL$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k = \frac{1}{5}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{KL}{AC} = k = \frac{1}{5}$

Отсюда находим искомое расстояние $KL$ между точками касания: $KL = AC \cdot k = 40 \cdot \frac{1}{5} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

22.31. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне, – 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$.
Пусть $h_a$ — высота, проведённая к основанию $AC$, и $h_b$ — высота, проведённая к боковой стороне $BC$.
По условию, $h_a = 15$ см и $h_b = 24$ см.
Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Выразим площадь треугольника двумя способами:
1) Через основание $AC$ и высоту $h_a$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15$
2) Через боковую сторону $BC$ и высоту $h_b$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24$
Приравняем правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 24$
$15 \cdot AC = 24 \cdot BC$
Выразим длину основания $AC$ через длину боковой стороны $BC$:
$AC = \frac{24}{15} BC = \frac{8}{5} BC$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_a$, половиной основания и боковой стороной. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание пополам. Катетами этого треугольника будут высота $h_a$ и половина основания $\frac{AC}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $BC$.
По теореме Пифагора:
$BC^2 = h_a^2 + (\frac{AC}{2})^2$
Подставим известные значения и полученное ранее выражение для $AC$:
$BC^2 = 15^2 + (\frac{\frac{8}{5} BC}{2})^2$
$BC^2 = 225 + (\frac{4}{5} BC)^2$
$BC^2 = 225 + \frac{16}{25} BC^2$
Теперь решим это уравнение относительно $BC$:
$BC^2 - \frac{16}{25} BC^2 = 225$
$\frac{25-16}{25} BC^2 = 225$
$\frac{9}{25} BC^2 = 225$
$BC^2 = 225 \cdot \frac{25}{9} = 25 \cdot 25 = 625$
$BC = \sqrt{625} = 25$ см.
Зная длину боковой стороны $BC$, мы можем найти площадь треугольника, используя высоту, проведённую к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 24 = 25 \cdot 12 = 300$ см$^2$.
Ответ: 300 см$^2$.

22.32. В треугольнике $ABC$ отрезок $AK$ (точка $K$ принадлежит стороне $BC$) делит медиану $BM$ в отношении $3 : 4$, считая от вершины $B$. В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?

Пусть O — точка пересечения отрезка AK и медианы BM. По условию, отрезок AK делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. Это означает, что $BO : OM = 3 : 4$, или в виде дроби $\frac{BO}{OM} = \frac{3}{4}$.

Для решения этой задачи удобно применить теорему Менелая. Рассмотрим треугольник $BMC$ и прямую $AOK$ в качестве секущей (трансверсали). Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $K$, сторону $BM$ в точке $O$ и продолжение стороны $CM$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая, для треугольника и секущей выполняется следующее соотношение: $\frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MO}{OB} = 1$.

Теперь определим значения каждого из сомножителей в этой формуле.

Искомое отношение — это $\frac{BK}{KC}$.

Поскольку $BM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $AC$. Следовательно, $AM = MC$. Длина всей стороны $CA$ равна $AM + MC = 2AM$. Таким образом, отношение $\frac{CA}{AM} = \frac{2AM}{AM} = 2$.

По условию задачи, $\frac{BO}{OM} = \frac{3}{4}$. Отсюда следует, что обратное отношение $\frac{MO}{OB} = \frac{4}{3}$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая: $\frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot \frac{4}{3} = 1$.

Упростим выражение: $\frac{BK}{KC} \cdot \frac{8}{3} = 1$.

Из этого уравнения выражаем искомое отношение: $\frac{BK}{KC} = \frac{3}{8}$.

Таким образом, точка K делит сторону BC в отношении 3 : 8, если считать от вершины B.

Ответ: 3 : 8.

22.33. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ делит отрезок $AK$ (точка $K$ принадлежит стороне $BC$) в отношении $3 : 1$, считая от вершины $A$.

В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?

Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: С использованием теоремы Менелая

Теорема Менелая применяется для треугольника и пересекающей его стороны (или их продолжения) прямой.

Рассмотрим треугольник $AKC$ и секущую $BOM$ (где $O$ — точка пересечения $AK$ и $BM$). Прямая $BOM$ пересекает сторону $AK$ в точке $O$, сторону $AC$ в точке $M$ и продолжение стороны $KC$ в точке $B$.

По теореме Менелая для треугольника $AKC$ и секущей $BOM$ имеем соотношение:

$\frac{AO}{OK} \cdot \frac{KB}{BC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$

Разберем каждое отношение в этой формуле:

• По условию, медиана $BM$ делит отрезок $AK$ в отношении 3:1, считая от вершины A. Это означает, что $AO : OK = 3 : 1$, или $\frac{AO}{OK} = 3$.
• Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ является серединой $AC$. Следовательно, $AM = MC$, и $\frac{CM}{MA} = 1$.
• Отношение $\frac{KB}{BC}$ связывает искомые нами отрезки.

Подставим известные значения в формулу Менелая:

$3 \cdot \frac{KB}{BC} \cdot 1 = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{KB}{BC} = \frac{1}{3}$

Это означает, что длина отрезка $KB$ составляет одну треть длины стороны $BC$. Тогда на отрезок $KC$ приходится оставшаяся часть:

$KC = BC - KB = BC - \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC$

Теперь найдем искомое отношение $BK$ к $KC$:

$\frac{BK}{KC} = \frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{2}{3}BC} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении 1:2, считая от вершины B.

Ответ: $1 : 2$

Способ 2: С помощью дополнительного построения

1. Проведем через точку $M$ (середину $AC$) прямую $ML$, параллельную отрезку $AK$, где точка $L$ лежит на стороне $BC$.

2. Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как $M$ — середина стороны $AC$ и $ML || AK$ по построению, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии трапеции) отрезок $ML$ является средней линией треугольника $AKC$ относительно основания $AK$. Это означает, что точка $L$ — середина отрезка $KC$, то есть $KL = LC$.

3. По условию задачи, $AO : OK = 3 : 1$. Пусть $OK = x$, тогда $AO = 3x$, а весь отрезок $AK = AO + OK = 3x + x = 4x$.

4. Так как $ML$ — средняя линия в $\triangle AKC$, ее длина равна половине основания: $ML = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $BML$. В нем отрезок $OK$ параллелен стороне $ML$ (поскольку $AK || ML$). Следовательно, треугольник $BOK$ подобен треугольнику $BML$ по двум углам ($\angle B$ — общий, $\angle BKO = \angle BLM$ как соответственные углы при параллельных прямых $OK$ и $ML$ и секущей $BC$).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BK}{BL} = \frac{OK}{ML}$

7. Подставим известные нам длины $OK = x$ и $ML = 2x$:

$\frac{BK}{BL} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

8. Из этого соотношения следует, что $BL = 2 \cdot BK$. С другой стороны, из чертежа видно, что $BL = BK + KL$. Значит, $2 \cdot BK = BK + KL$, откуда получаем $BK = KL$.

9. Вспомним, что из пункта 2 мы знаем, что $KL = LC$. Таким образом, мы получили равенство трех отрезков: $BK = KL = LC$.

10. Нас интересует отношение, в котором точка $K$ делит сторону $BC$. Это отношение $BK : KC$. Отрезок $KC$ состоит из двух равных частей: $KC = KL + LC = BK + BK = 2 \cdot BK$.

11. Найдем искомое отношение:

$\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{2 \cdot BK} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1 : 2$