Номер 22.27, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.27. В треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет $BC$ в точке $D$. Докажите, что $DE = DB$.

Чтобы доказать, что $DE = DB$, мы докажем, что треугольник $DBE$ является равнобедренным с основанием $BE$. Для этого необходимо показать равенство углов при основании: $\angle DEB = \angle DBE$.

Обозначим $\angle CBA = \beta$. Так как точка $D$ лежит на катете $BC$ и точка $E$ лежит на гипотенузе $AB$, то угол $\angle DBE$ совпадает с углом $\angle CBA$, следовательно, $\angle DBE = \beta$.

По условию задачи, на катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Точка $E$ находится на этой окружности. Угол $\angle AEC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. Следовательно, $\angle AEC = 90^\circ$.

Точки $A$, $E$ и $B$ лежат на одной прямой (гипотенузе), поэтому угол $\angle CEB$ является смежным с углом $\angle AEC$. Его величина равна $\angle CEB = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, отрезок $CE$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на гипотенузу.

Рассмотрим прямую $BC$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$. Поскольку $AC$ — диаметр окружности, прямая $BC$ является касательной к окружности в точке $C$. По условию, прямая $DE$ также является касательной к этой окружности, но в точке $E$. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки $D$, равны между собой. Следовательно, $DC = DE$.

Равенство отрезков $DC = DE$ означает, что треугольник $DCE$ является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle DCE = \angle DEC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CEB$ ($\angle CEB = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, то есть $\angle BCE + \angle CBE = 90^\circ$. Мы уже обозначили $\angle CBE = \beta$, поэтому $\angle BCE = 90^\circ - \beta$.

Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$, то $\angle DCE$ совпадает с $\angle BCE$, то есть $\angle DCE = 90^\circ - \beta$.

Из равнобедренного треугольника $DCE$ следует, что $\angle DEC = \angle DCE = 90^\circ - \beta$.

Угол $\angle CEB$ можно представить как сумму углов $\angle DEC$ и $\angle DEB$, так как луч $ED$ проходит внутри угла $CEB$. Таким образом, $\angle CEB = \angle DEC + \angle DEB$.

Подставим известные нам значения в это равенство: $90^\circ = (90^\circ - \beta) + \angle DEB$.

Выражая $\angle DEB$ из этого уравнения, получаем: $\angle DEB = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$.

В итоге мы установили, что в треугольнике $DBE$ оба угла при основании $BE$ равны $\beta$: $\angle DBE = \beta$ и $\angle DEB = \beta$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, следовательно, $DE = DB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = DB$ доказано.