Номер 22.20, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.20. Отрезок $AB$ является диаметром окружности, а точка $C$ лежит вне этой окружности. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются с окружностью в точках $D$ и $M$ соответственно. Найдите угол $ACB$, если площади треугольников $DCM$ и $ACB$ относятся как $1 : 4$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle DCM$ и $\triangle ACB$. Угол $\angle C$ у них общий.

2. Точки $A, B, M, D$ лежат на окружности, следовательно, четырёхугольник $ABMD$ является вписанным. Одно из свойств вписанного четырёхугольника гласит, что внешний угол при одной из его вершин равен внутреннему углу при противоположной вершине. Для вершины $M$ четырёхугольника $ABMD$ внешний угол — это $\angle DMC$. Противоположная вершина — $A$. Следовательно, $\angle DMC = \angle DAB$. Так как $\angle DAB$ и $\angle CAB$ — это один и тот же угол, получаем $\angle DMC = \angle CAB$.

3. Таким образом, в треугольниках $\triangle DCM$ и $\triangle BCA$ есть два равных угла: $\angle C$ — общий, и $\angle DMC = \angle BAC$. Следовательно, $\triangle DCM$ подобен $\triangle BCA$ по двум углам.

4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $ \frac{S_{DCM}}{S_{BCA}} = k^2 $ По условию задачи $\frac{S_{DCM}}{S_{ACB}} = \frac{1}{4}$, значит, $k^2 = \frac{1}{4}$, откуда $k = \frac{1}{2}$.

5. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон. Из подобия $\triangle DCM \sim \triangle BCA$ следует, что отношение стороны $CM$ (лежащей напротив угла $\angle CDM$) к стороне $CA$ (лежащей напротив угла $\angle CBA$) равно $k$: $ \frac{CM}{CA} = k = \frac{1}{2} $

6. Поскольку $AB$ — диаметр окружности, а точка $M$ лежит на этой окружности, вписанный угол $\angle AMB$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

7. Точки $C, M, B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle AMC$ является смежным с углом $\angle AMB$. Следовательно, $\angle AMC = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle AMC$ — прямоугольный.

8. В прямоугольном треугольнике $\triangle AMC$ косинус угла $\angle C$ равен отношению прилежащего катета $CM$ к гипотенузе $AC$: $ \cos(\angle ACB) = \frac{CM}{AC} $ Из пункта 5 мы знаем, что $\frac{CM}{AC} = \frac{1}{2}$. Таким образом: $ \cos(\angle ACB) = \frac{1}{2} $

9. Угол в треугольнике находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Единственное значение угла из этого диапазона, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.