Номер 22.19, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.19. Площадь треугольника ABC равна 24 см². На стороне AB отметили точки D и F так, что $AD = BF = \frac{1}{4} AB$, а на стороне BC — точки P и M так, что $CM = BP = \frac{1}{4} BC$. Найдите площадь четырёхугольника DFPM.

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника $DFPM$ как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $DP$: $S_{DFPM} = S_{\triangle DFP} + S_{\triangle DMP}$.

Сначала определим длины отрезков на сторонах $AB$ и $BC$ через длины самих сторон. По условию, на стороне $AB$ отмечены точки $D$ и $F$ так, что $AD = BF = \frac{1}{4}AB$. Тогда длина отрезка $DF$ равна:$DF = AB - AD - BF = AB - \frac{1}{4}AB - \frac{1}{4}AB = \frac{1}{2}AB$. Также нам понадобится длина отрезка $BD$:$BD = AB - AD = AB - \frac{1}{4}AB = \frac{3}{4}AB$. На стороне $BC$ отмечены точки $P$ и $M$ так, что $CM = BP = \frac{1}{4}BC$. Тогда длина отрезка $PM$ равна:$PM = BC - BP - CM = BC - \frac{1}{4}BC - \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}BC$.

Теперь найдем площадь треугольника $DFP$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем $DF$ за основание $\triangle DFP$. Длина основания $DF = \frac{1}{2}AB$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр $h_P$ из точки $P$ на прямую $AB$. Пусть $H_C$ — высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Тогда площадь $\triangle ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot H_C$. Поскольку точка $P$ лежит на стороне $BC$, из подобия треугольников (образованных высотами $h_P$ и $H_C$ и отрезками $BP$ и $BC$) следует, что $\frac{h_P}{H_C} = \frac{BP}{BC}$. Так как $BP = \frac{1}{4}BC$, то $h_P = \frac{1}{4}H_C$. Площадь $\triangle DFP$ равна:$S_{\triangle DFP} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot h_P = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{4}H_C) = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2}AB \cdot H_C) = \frac{1}{8}S_{ABC}$. Подставляя известное значение $S_{ABC} = 24$ см², получаем:$S_{\triangle DFP} = \frac{1}{8} \cdot 24 = 3$ см².

Далее найдем площадь треугольника $DMP$. Примем $PM$ за основание $\triangle DMP$. Длина основания $PM = \frac{1}{2}BC$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет перпендикуляр $h_D$ из точки $D$ на прямую $BC$. Пусть $H_A$ — высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Тогда площадь $\triangle ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot H_A$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AB$, из подобия треугольников (образованных высотами $h_D$ и $H_A$ и отрезками $BD$ и $BA$) следует, что $\frac{h_D}{H_A} = \frac{BD}{BA}$. Так как $BD = \frac{3}{4}AB$, то $h_D = \frac{3}{4}H_A$. Площадь $\triangle DMP$ равна:$S_{\triangle DMP} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot (\frac{3}{4}H_A) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{1}{2}BC \cdot H_A) = \frac{3}{8}S_{ABC}$. Подставляя известное значение $S_{ABC} = 24$ см², получаем:$S_{\triangle DMP} = \frac{3}{8} \cdot 24 = 9$ см².

Наконец, площадь четырехугольника $DFPM$ равна сумме площадей треугольников $DFP$ и $DMP$:$S_{DFPM} = S_{\triangle DFP} + S_{\triangle DMP} = 3 + 9 = 12$ см².

Ответ: 12 см².