Номер 22.21, страница 207 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.21. Окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $F$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $MFB$ и $ABC$, если $\angle ABC = 45^{\circ}$.

Решение:

Пусть дана окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Эта окружность пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $F$.

Поскольку точки $M$ и $F$ лежат на окружности, а $AC$ является ее диаметром, то вписанные углы, опирающиеся на диаметр, являются прямыми. Таким образом, $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle AFC = 90^\circ$.

Это означает, что $CM$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $AB$, а $AF$ — высота, опущенная на сторону $BC$.

Запишем формулы для площадей треугольников $ABC$ и $MFB$ через синус общего угла $\angle B$ (или $\angle ABC$):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$

$S_{MFB} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot FB \cdot \sin(\angle B)$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot FB \cdot \sin(\angle B)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)} = \frac{MB}{AB} \cdot \frac{FB}{BC}$

Теперь выразим длины отрезков $MB$ и $FB$ через стороны треугольника $ABC$ и угол $\angle B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CMB$ (угол $\angle CMB = 90^\circ$, так как он смежный с $\angle AMC = 90^\circ$). В этом треугольнике отношение прилежащего катета $MB$ к гипотенузе $BC$ равно косинусу угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{MB}{BC}$, откуда $MB = BC \cdot \cos(\angle B)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AFB$ (угол $\angle AFB = 90^\circ$, так как он смежный с $\angle AFC = 90^\circ$). В этом треугольнике отношение прилежащего катета $FB$ к гипотенузе $AB$ равно косинусу угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{FB}{AB}$, откуда $FB = AB \cdot \cos(\angle B)$.

Подставим полученные выражения для $MB$ и $FB$ в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \frac{BC \cdot \cos(\angle B)}{AB} \cdot \frac{AB \cdot \cos(\angle B)}{BC} = \cos^2(\angle B)$

По условию задачи $\angle ABC = \angle B = 45^\circ$. Найдем значение отношения:

$\frac{S_{MFB}}{S_{ABC}} = \cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$