Номер 22.24, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.24. Докажите, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = p(p-c)$, где $p$ — полупериметр треугольника, $c$ — длина гипотенузы.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника находится по формуле половины произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$

Полупериметр $p$ треугольника — это половина суммы длин всех его сторон:
$p = \frac{a+b+c}{2}$

Нам необходимо доказать справедливость формулы $S = p(p-c)$. Для этого преобразуем правую часть этой формулы, подставив в нее выражение для полупериметра $p$.
$p(p-c) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b+c}{2} - c\right)$

Выполним вычитание во второй скобке, приведя к общему знаменателю:
$p(p-c) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b+c-2c}{2}\right) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot \left(\frac{a+b-c}{2}\right)$

Теперь перемножим дроби:
$p(p-c) = \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}$

В числителе дроби можно применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x = a+b$, а $y = c$:
$p(p-c) = \frac{(a+b)^2 - c^2}{4}$

Раскроем квадрат суммы в числителе:
$p(p-c) = \frac{a^2+2ab+b^2 - c^2}{4}$

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это соотношение в наше выражение:
$p(p-c) = \frac{(a^2+b^2) - c^2 + 2ab}{4} = \frac{c^2 - c^2 + 2ab}{4} = \frac{2ab}{4}$

Сократив дробь, получаем:
$p(p-c) = \frac{1}{2}ab$

Полученное выражение $\frac{1}{2}ab$ является формулой площади прямоугольного треугольника $S$. Таким образом, мы доказали, что $S = p(p-c)$.

Ответ: Утверждение доказано.