Номер 22.30, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.30. Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведённая к нему, — 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, длина основания $AC = 40$ см, а высота $BH = 15$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ $AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$ $AB = \sqrt{625} = 25$ см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Поскольку треугольник равнобедренный и симметричен относительно высоты $BH$, точка касания окружности с основанием $AC$ будет совпадать с точкой $H$.

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, они равны. Для вершины $A$ имеем: $AK = AH = 20$ см.

Зная длину боковой стороны $AB$ и длину отрезка $AK$, найдем длину отрезка $BK$: $BK = AB - AK = 25 - 20 = 5$ см. Аналогично для стороны $BC$: $CL = CH = 20$ см, и $BL = BC - CL = 25 - 20 = 5$ см.

Рассмотрим треугольники $BKL$ и $BAC$. У них общий угол $\angle B$. Сравним отношения сторон, образующих этот угол: $\frac{BK}{AB} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ $\frac{BL}{BC} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Поскольку стороны, образующие угол $\angle B$, пропорциональны ($\frac{BK}{AB} = \frac{BL}{BC}$), то треугольник $BKL$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k = \frac{1}{5}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{KL}{AC} = k = \frac{1}{5}$

Отсюда находим искомое расстояние $KL$ между точками касания: $KL = AC \cdot k = 40 \cdot \frac{1}{5} = 8$ см.

Ответ: 8 см.