Номер 22.33, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.33. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ делит отрезок $AK$ (точка $K$ принадлежит стороне $BC$) в отношении $3 : 1$, считая от вершины $A$.

В каком отношении точка $K$ делит сторону $BC$?

Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: С использованием теоремы Менелая

Теорема Менелая применяется для треугольника и пересекающей его стороны (или их продолжения) прямой.

Рассмотрим треугольник $AKC$ и секущую $BOM$ (где $O$ — точка пересечения $AK$ и $BM$). Прямая $BOM$ пересекает сторону $AK$ в точке $O$, сторону $AC$ в точке $M$ и продолжение стороны $KC$ в точке $B$.

По теореме Менелая для треугольника $AKC$ и секущей $BOM$ имеем соотношение:

$\frac{AO}{OK} \cdot \frac{KB}{BC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1$

Разберем каждое отношение в этой формуле:

• По условию, медиана $BM$ делит отрезок $AK$ в отношении 3:1, считая от вершины A. Это означает, что $AO : OK = 3 : 1$, или $\frac{AO}{OK} = 3$.
• Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ является серединой $AC$. Следовательно, $AM = MC$, и $\frac{CM}{MA} = 1$.
• Отношение $\frac{KB}{BC}$ связывает искомые нами отрезки.

Подставим известные значения в формулу Менелая:

$3 \cdot \frac{KB}{BC} \cdot 1 = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{KB}{BC} = \frac{1}{3}$

Это означает, что длина отрезка $KB$ составляет одну треть длины стороны $BC$. Тогда на отрезок $KC$ приходится оставшаяся часть:

$KC = BC - KB = BC - \frac{1}{3}BC = \frac{2}{3}BC$

Теперь найдем искомое отношение $BK$ к $KC$:

$\frac{BK}{KC} = \frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{2}{3}BC} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении 1:2, считая от вершины B.

Ответ: $1 : 2$

Способ 2: С помощью дополнительного построения

1. Проведем через точку $M$ (середину $AC$) прямую $ML$, параллельную отрезку $AK$, где точка $L$ лежит на стороне $BC$.

2. Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как $M$ — середина стороны $AC$ и $ML || AK$ по построению, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии трапеции) отрезок $ML$ является средней линией треугольника $AKC$ относительно основания $AK$. Это означает, что точка $L$ — середина отрезка $KC$, то есть $KL = LC$.

3. По условию задачи, $AO : OK = 3 : 1$. Пусть $OK = x$, тогда $AO = 3x$, а весь отрезок $AK = AO + OK = 3x + x = 4x$.

4. Так как $ML$ — средняя линия в $\triangle AKC$, ее длина равна половине основания: $ML = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $BML$. В нем отрезок $OK$ параллелен стороне $ML$ (поскольку $AK || ML$). Следовательно, треугольник $BOK$ подобен треугольнику $BML$ по двум углам ($\angle B$ — общий, $\angle BKO = \angle BLM$ как соответственные углы при параллельных прямых $OK$ и $ML$ и секущей $BC$).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{BK}{BL} = \frac{OK}{ML}$

7. Подставим известные нам длины $OK = x$ и $ML = 2x$:

$\frac{BK}{BL} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

8. Из этого соотношения следует, что $BL = 2 \cdot BK$. С другой стороны, из чертежа видно, что $BL = BK + KL$. Значит, $2 \cdot BK = BK + KL$, откуда получаем $BK = KL$.

9. Вспомним, что из пункта 2 мы знаем, что $KL = LC$. Таким образом, мы получили равенство трех отрезков: $BK = KL = LC$.

10. Нас интересует отношение, в котором точка $K$ делит сторону $BC$. Это отношение $BK : KC$. Отрезок $KC$ состоит из двух равных частей: $KC = KL + LC = BK + BK = 2 \cdot BK$.

11. Найдем искомое отношение:

$\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{2 \cdot BK} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1 : 2$