Номер 22.38, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.38. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$), равен 12 см, а расстояние от центра этой окружности до вершины $B$ — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ ($AB=BC$). Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $r$ — её радиус. По условию, $r = 12$ см, а расстояние от центра $O$ до вершины $B$ равно $BO = 20$ см.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой и медианой. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. Точка $O$ лежит на отрезке $BH$. Точка касания вписанной окружности с основанием $AC$ — это точка $H$. Следовательно, отрезок $OH$ является радиусом, перпендикулярным к основанию $AC$, и $OH = r = 12$ см.

Длина высоты $BH$ равна сумме длин отрезков $BO$ и $OH$ (так как точка $O$ лежит между $B$ и $H$):
$BH = BO + OH = 20 + 12 = 32$ см.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Тогда радиус $OK$ перпендикулярен стороне $BC$ ($OK \perp BC$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $BK$:
$BK^2 = BO^2 - OK^2$
$BK^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$BK = \sqrt{256} = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BOK$ и $BHC$. У них общий острый угол при вершине $B$. Следовательно, эти треугольники подобны по двум углам ($\triangle BOK \sim \triangle BHC$). Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{BK}{BH} = \frac{OK}{HC} = \frac{BO}{BC}$

Используя эту пропорцию, найдем длину половины основания $HC$ и длину боковой стороны $BC$.
Из соотношения $\frac{BK}{BH} = \frac{OK}{HC}$ находим $HC$:
$\frac{16}{32} = \frac{12}{HC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{12}{HC} \Rightarrow HC = 12 \cdot 2 = 24$ см.
Поскольку высота $BH$ является и медианой, основание $AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 24 = 48$ см.

Из соотношения $\frac{BK}{BH} = \frac{BO}{BC}$ находим $BC$:
$\frac{16}{32} = \frac{20}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{BC} \Rightarrow BC = 20 \cdot 2 = 40$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AB = BC = 40$ см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 40 + 40 + 48 = 128$ см.

Ответ: 128 см.