Номер 22.44, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.44. Одна из сторон треугольника равна 25 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$. По условию, одна из сторон равна 25 см. Пусть это будет сторона $c = AB = 25$ см.

Другая сторона, скажем $b = AC$, делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 22 см и 8 см, считая от конца первой стороны (то есть от общей вершины A). Таким образом, сторона $b$ состоит из двух отрезков, которые мы обозначим как $x = 22$ см и $y = 8$ см. Длина стороны $b$ равна: $b = AC = 22 + 8 = 30$ см.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной вершины: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC, AB$ соответственно. Тогда: 1. Из вершины A: $AM = AL = 22$ см. 2. Из вершины C: $CK = CL = 8$ см.

Теперь найдем отрезки, на которые делится третья сторона $a = BC$. На стороне $c = AB$ отрезок $MB$ равен: $MB = AB - AM = 25 - 22 = 3$ см. По свойству касательных из вершины B: $BK = MB = 3$ см.

Теперь мы можем найти длину третьей стороны треугольника $a = BC$: $a = BC = BK + KC = 3 + 8 = 11$ см.

Итак, мы знаем длины всех трех сторон треугольника: $a = 11$ см, $b = 30$ см, $c = 25$ см. Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{11+30+25}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S = \sqrt{33(33-11)(33-30)(33-25)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 8}$ $S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 8} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 16} = 3 \cdot 11 \cdot 4 = 132$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{132}{33} = 4$ см.

Ответ: 4 см.