Номер 22.46, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.46. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удалён от вершины прямого угла на расстояние $ \sqrt{8} $ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты как $a=BC$ и $b=AC$, а гипотенузу как $c=AB$.

В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Пусть точки касания окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ будут $F$, $E$ и $D$ соответственно.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

• $AD = AE$
• $BD = BF$
• $CE = CF$

Так как $CEOF$ — это четырехугольник с тремя прямыми углами ($\angle C$, $\angle CEO$, $\angle CFO$) и равными смежными сторонами $CE=CF$ (как касательные из одной точки, или можно сказать что $OE=OF=r$), то $CEOF$ — квадрат. Следовательно, $CE = CF = r$.

По условию, точка касания $D$ делит гипотенузу $AB$ в отношении $2:3$. Пусть $AD=2x$ и $DB=3x$. Тогда длина гипотенузы $c = AD + DB = 2x + 3x = 5x$.

Выразим катеты через $x$ и $r$:

• $a = BC = BF + FC = DB + r = 3x + r$
• $b = AC = AE + EC = AD + r = 2x + r$

Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.

$(3x + r)^2 + (2x + r)^2 = (5x)^2$

Раскроем скобки:

$(9x^2 + 6xr + r^2) + (4x^2 + 4xr + r^2) = 25x^2$

$13x^2 + 10xr + 2r^2 = 25x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$12x^2 - 10xr - 2r^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$6x^2 - 5xr - r^2 = 0$

Решим это уравнение как квадратное относительно $x$. Дискриминант $D = (-5r)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-r^2) = 25r^2 + 24r^2 = 49r^2$.

$x = \frac{5r \pm \sqrt{49r^2}}{2 \cdot 6} = \frac{5r \pm 7r}{12}$

Так как длина отрезка $x$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{5r + 7r}{12} = \frac{12r}{12} = r$

Таким образом, мы установили, что $x=r$.

Теперь используем второе условие задачи: расстояние от центра вписанной окружности $O$ до вершины прямого угла $C$ равно $\sqrt{8}$ см. В прямоугольной системе координат с началом в точке $C$ и осями, направленными по катетам, центр окружности $O$ будет иметь координаты $(r, r)$. Расстояние $OC$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками или из прямоугольного треугольника $OCF$ по теореме Пифагора:

$OC^2 = OF^2 + CF^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$

$OC = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$

По условию, $OC = \sqrt{8}$.

$r\sqrt{2} = \sqrt{8}$

$r\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Отсюда находим $r = 2$ см.

Так как $x=r$, то $x=2$ см.

Теперь можем найти длины сторон треугольника:

• Катет $a = 3x + r = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$ см.
• Катет $b = 2x + r = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$ см.
• Гипотенуза $c = 5x = 5(2) = 10$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.