Номер 22.41, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.41. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$. Окружности, вписанные в треугольники $ABM$ и $MBC$, касаются. Докажите, что $AB + MC = AM + BC$.

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ — окружности, вписанные в треугольники $ABM$ и $MBC$ соответственно. Пусть $O_1$ и $r_1$ — центр и радиус окружности $\omega_1$, а $O_2$ и $r_2$ — центр и радиус окружности $\omega_2$.

Треугольники $ABM$ и $MBC$ имеют общую сторону $BM$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $AC$, вершины $A$ и $C$ находятся по разные стороны от прямой $BM$. Следовательно, вписанные в них окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ также лежат по разные стороны от прямой $BM$.

По условию задачи, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Пусть $N_1$ и $N_2$ — точки касания окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ со стороной $BM$ соответственно. По определению вписанной окружности, $O_1N_1 \perp BM$ и $O_2N_2 \perp BM$, причём $O_1N_1 = r_1$ и $O_2N_2 = r_2$.

Поскольку центры $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $BM$, расстояние между ними можно найти с помощью теоремы Пифагора. Расстояние $O_1O_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны расстоянию $N_1N_2$ между точками касания и сумме радиусов $r_1 + r_2$. Таким образом, выполняется равенство:$O_1O_2^2 = N_1N_2^2 + (r_1 + r_2)^2$.

Подставим в это равенство условие касания окружностей $O_1O_2 = r_1 + r_2$:$(r_1 + r_2)^2 = N_1N_2^2 + (r_1 + r_2)^2$.

Из этого уравнения следует, что $N_1N_2^2 = 0$, а значит, $N_1N_2 = 0$. Это означает, что точки касания $N_1$ и $N_2$ совпадают. Обозначим эту общую точку касания буквой $N$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из вершины треугольника к вписанной окружности: расстояние от вершины до точки касания равно полупериметру треугольника минус длина противолежащей стороны.

Для треугольника $ABM$ его полупериметр $p_{ABM} = \frac{AB + BM + AM}{2}$. Расстояние от вершины $B$ до точки касания $N$ на стороне $BM$ равно:$BN = p_{ABM} - AM = \frac{AB + BM + AM}{2} - AM = \frac{AB + BM - AM}{2}$.

Для треугольника $MBC$ его полупериметр $p_{MBC} = \frac{BC + BM + MC}{2}$. Расстояние от вершины $B$ до точки касания $N$ на стороне $BM$ равно:$BN = p_{MBC} - MC = \frac{BC + BM + MC}{2} - MC = \frac{BC + BM - MC}{2}$.

Так как оба выражения определяют длину одного и того же отрезка $BN$, мы можем их приравнять:$\frac{AB + BM - AM}{2} = \frac{BC + BM - MC}{2}$.

Умножив обе части равенства на 2 и вычтя $BM$ из обеих частей, получим:$AB - AM = BC - MC$.

Перегруппировав слагаемые, приходим к доказываемому равенству:$AB + MC = AM + BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.