Номер 22.42, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.42. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 18$ см. Наибольший угол в треугольнике лежит напротив наибольшей стороны. В данном случае это угол, противолежащий стороне $c=18$ см. Этот угол образован сторонами, длины которых равны 12 см и 15 см.

Обозначим искомую биссектрису как $l$. Эта биссектриса делит сторону $c$ на два отрезка, $c_1$ и $c_2$, так что $c_1 + c_2 = 18$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае прилежащие стороны — это те, что образуют наибольший угол, то есть стороны длиной 12 см и 15 см. Запишем пропорцию:
$\frac{c_1}{12} = \frac{c_2}{15}$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $c_1 + c_2 = 18$
2) $\frac{c_1}{12} = \frac{c_2}{15}$

Упростим второе уравнение, используя основное свойство пропорции:
$15c_1 = 12c_2$
Разделим обе части на 3:
$5c_1 = 4c_2$

Теперь решим систему. Из первого уравнения выразим $c_2$:
$c_2 = 18 - c_1$
Подставим это выражение в упрощенное второе уравнение:
$5c_1 = 4(18 - c_1)$
$5c_1 = 72 - 4c_1$
$9c_1 = 72$
$c_1 = 8$ см.

Найдем длину второго отрезка:
$c_2 = 18 - c_1 = 18 - 8 = 10$ см.

Длина биссектрисы треугольника вычисляется по формуле:
$l^2 = a \cdot b - c_1 \cdot c_2$, где $a$ и $b$ — стороны, между которыми проведена биссектриса, а $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые она делит третью сторону.

Подставим все известные значения в формулу:
$l^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$
$l^2 = 180 - 80$
$l^2 = 100$
$l = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.