Номер 22.40, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.40. Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Радиус вписанной окружности $r = 16$ см.

По условию, точка касания $M$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $8:9$, считая от вершины угла при основании, то есть от вершины $A$. Следовательно, $AM : MB = 8 : 9$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AM = 8x$ и $MB = 9x$.

Длина боковой стороны треугольника равна $AB = AM + MB = 8x + 9x = 17x$. Так как треугольник равнобедренный, $BC = AB = 17x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

• $AK = AM = 8x$
• $BN = BM = 9x$
• $CK = CN$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Точка $K$ — середина основания $AC$. Поэтому $AK = KC$.

Отсюда следует, что $KC = AK = 8x$.

Тогда длина основания $AC = AK + KC = 8x + 8x = 16x$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ($S$) двумя способами.

Способ 1: Через полупериметр и радиус вписанной окружности.

Формула площади: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника $P = AB + BC + AC = 17x + 17x + 16x = 50x$.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{50x}{2} = 25x$.

Подставляем известные значения $p$ и $r=16$:
$S = 25x \cdot 16 = 400x$.

Способ 2: Через основание и высоту.

Формула площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (где $BK$ — высота к основанию $AC$).

Гипотенуза $AB = 17x$, катет $AK = 8x$.

По теореме Пифагора найдем высоту $h = BK$:
$h^2 = AB^2 - AK^2 = (17x)^2 - (8x)^2 = 289x^2 - 64x^2 = 225x^2$.
$h = \sqrt{225x^2} = 15x$.

Теперь найдем площадь, используя основание $AC = 16x$ и высоту $h = 15x$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 16x \cdot 15x = 8x \cdot 15x = 120x^2$.

Нахождение $x$ и вычисление площади.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $x$:

$400x = 120x^2$.

Так как $x$ не может быть равно нулю (иначе стороны треугольника были бы нулевой длины), мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$400 = 120x$.

$x = \frac{400}{120} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

Теперь подставим значение $x$ в любую из формул для площади. Воспользуемся первой:

$S = 400x = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3}$ см$^2$.

Площадь треугольника равна $1333 \frac{1}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{4000}{3}$ см$^2$ или $1333 \frac{1}{3}$ см$^2$.