Номер 22.34, страница 209 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.34. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены отрезок $AM$ и медиана $BK$, которые пересекаются в точке $O$. Нам дано, что точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 10$, а точка $K$ является серединой стороны $AC$. Требуется найти отношение $BO : OK$.

Для решения задачи применим метод подобных треугольников, для чего выполним дополнительное построение.

1. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную стороне $BC$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $AM$ в точке $P$. Таким образом, по построению $KP \parallel BC$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AMC$. В этих треугольниках:

• $\angle MAC$ — общий.
• $\angle AKP = \angle ACM$ (как соответственные углы при параллельных прямых $KP$ и $MC$ и секущей $AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle APK$ и $\triangle AMC$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{MC}$

Поскольку $BK$ — медиана, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что $AC = 2AK$, откуда $\frac{AK}{AC} = \frac{1}{2}$.

Подставив это в пропорцию, получаем:

$\frac{KP}{MC} = \frac{1}{2} \implies KP = \frac{1}{2}MC$

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BMO$ и $\triangle KPO$. В этих треугольниках:

• $\angle BOM = \angle KOP$ (как вертикальные углы).
• $\angle MBO = \angle PKO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BM$ и $KP$ и секущей $BK$).

Следовательно, треугольники $\triangle BMO$ и $\triangle KPO$ подобны по двум углам. Из их подобия следует:

$\frac{BO}{OK} = \frac{BM}{KP}$

4. Из условия задачи известно, что $BM : MC = 3 : 10$. Обозначим длины отрезков через коэффициент пропорциональности $x$: пусть $BM = 3x$, тогда $MC = 10x$.

Из пункта 2 мы нашли, что $KP = \frac{1}{2}MC$. Подставим значение $MC$:

$KP = \frac{1}{2}(10x) = 5x$

5. Наконец, подставим найденные выражения для $BM$ и $KP$ в пропорцию из пункта 3:

$\frac{BO}{OK} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

Таким образом, отрезок $AM$ делит медиану $BK$ в отношении $3 : 5$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:5$.