Номер 22.29, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.29. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведённая к основанию, — $4\sqrt{91}$ см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 40$ см и основанием $AC$. Высота, проведённая к основанию, – это $BH$, где $H$ – точка на $AC$. По условию $BH = 4\sqrt{91}$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому точка $H$ делит основание $AC$ пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём половину основания $AH$: $AH^2 + BH^2 = AB^2$ $AH^2 + (4\sqrt{91})^2 = 40^2$ $AH^2 + 16 \cdot 91 = 1600$ $AH^2 + 1456 = 1600$ $AH^2 = 1600 - 1456$ $AH^2 = 144$ $AH = \sqrt{144} = 12$ см.

Следовательно, длина всего основания $AC$ равна: $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $\angle BAC$ (точка $D$ лежит на стороне $BC$) и $CE$ – биссектриса угла при основании $\angle BCA$ (точка $E$ лежит на стороне $AB$). Требуется найти расстояние между точками $D$ и $E$, то есть длину отрезка $DE$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ справедливо соотношение, по которому биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$ Подставим известные значения: $\frac{CD}{DB} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = CD + DB$. По условию $BC = 40$ см. Пусть $CD = 3x$, тогда $DB = 5x$. $3x + 5x = 40$ $8x = 40$ $x = 5$ см. Отсюда находим длину отрезка $DB$: $DB = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Следовательно, биссектриса $CE$ делит боковую сторону $AB$ в том же отношении, что и биссектриса $AD$ сторону $BC$. $\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ Зная, что $AB = AE + EB = 40$ см, находим длину отрезка $EB$: $EB = \frac{5}{3+5} \cdot AB = \frac{5}{8} \cdot 40 = 25$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BDE$ и исходный треугольник $BAC$. 1. У них общий угол $\angle B$. 2. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны: $\frac{BD}{BC} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$ $\frac{BE}{BA} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$

Поскольку две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то треугольники $BDE$ и $BAC$ подобны по второму признаку подобия. $\triangle BDE \sim \triangle BAC$

Из подобия треугольников следует пропорциональность всех их соответствующих сторон с коэффициентом подобия $k = \frac{5}{8}$: $\frac{DE}{AC} = k = \frac{5}{8}$ Теперь можем найти длину искомого отрезка $DE$: $DE = AC \cdot \frac{5}{8} = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.