Номер 22.26, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.26. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 12$ см (больший катет) и $BC = 5$ см (меньший катет).

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, который лежит на гипотенузе $AB$. Окружность касается большего катета $AC$ в точке $K$ и проходит через вершину $B$ (вершина острого угла, противолежащего большему катету $AC$).

Так как окружность проходит через точку $B$, то отрезок $OB$ является радиусом окружности. Обозначим радиус как $R$, тогда $OB = R$.

Так как окружность касается катета $AC$ в точке $K$, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть, $OK \perp AC$ и $OK = R$.

Рассмотрим треугольники $AOK$ и $ABC$.

Поскольку $OK \perp AC$ и $BC \perp AC$ (так как $\angle C = 90^\circ$), то прямые $OK$ и $BC$ параллельны ($OK \parallel BC$).

Если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от него треугольник, подобный данному. Следовательно, треугольник $AOK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle AOK \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AO}{AB} = \frac{OK}{BC}$

Мы знаем, что $AB = 13$, $BC = 5$, $OK = R$. Точка $O$ лежит на гипотенузе $AB$, поэтому $AB = AO + OB$. Подставив $OB = R$ и $AB=13$, получим $AO = AB - OB = 13 - R$.

Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{13 - R}{13} = \frac{R}{5}$

Решим это уравнение относительно $R$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot (13 - R) = 13 \cdot R$

$65 - 5R = 13R$

$65 = 13R + 5R$

$65 = 18R$

$R = \frac{65}{18}$

Ответ: $ \frac{65}{18} $ см.