gdz.top
Номер 22.25, страница 208 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-10036-2
Популярные ГДЗ в 11 классе
№22.24
№22.25 (с. 208)
Условие. №22.25 (с. 208)
22.25. Докажите, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S=(p-a)(p-b)$, где $p$ — полупериметр треугольника, $a$ и $b$ — длины катетов.
Решение 1. №22.25 (с. 208)
Решение 3. №22.25 (с. 208)
22.25.
Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.
Площадь $S$ такого треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2}ab$
Полупериметр $p$ треугольника — это половина его периметра:
$p = \frac{a+b+c}{2}$
Для доказательства формулы $S = (p-a)(p-b)$ преобразуем ее правую часть, подставив в нее выражение для полупериметра $p$.
$(p-a)(p-b) = \left(\frac{a+b+c}{2} - a\right) \left(\frac{a+b+c}{2} - b\right)$
Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю:
$\left(\frac{a+b+c-2a}{2}\right) \left(\frac{a+b+c-2b}{2}\right) = \left(\frac{b+c-a}{2}\right) \left(\frac{a+c-b}{2}\right)$
Перемножим дроби. В числителе сгруппируем слагаемые, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. Пусть $x=c$ и $y=a-b$. Тогда числитель примет вид:
$(c-(a-b))(c+(a-b)) = c^2 - (a-b)^2$
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{4} = \frac{c^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4}$
Сгруппируем слагаемые в числителе:
$\frac{c^2 - (a^2+b^2) + 2ab}{4}$
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, $a^2 + b^2 = c^2$. Заменим $a^2+b^2$ на $c^2$:
$\frac{c^2 - c^2 + 2ab}{4} = \frac{2ab}{4} = \frac{ab}{2}$
Полученное выражение $\frac{ab}{2}$ является формулой площади прямоугольного треугольника $S$. Следовательно, мы доказали, что $(p-a)(p-b) = S$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 22.25 расположенного на странице 208 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №22.25 (с. 208), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.