Номер 22.50, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.50. Точка $M$ принадлежит стороне $BC$ треугольника $ABC$. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около тре- угольников $AMB$ и $MAC$, не зависит от выбора точки $M$ на сторо- не $BC$.

Пусть $R_1$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AMB$, и $R_2$ — радиус окружности, описанной около треугольника $MAC$. Нам нужно доказать, что отношение $\frac{R_1}{R_2}$ не зависит от положения точки $M$ на стороне $BC$.

Воспользуемся расширенной теоремой синусов.

Для треугольника $AMB$ она выглядит так: $$ \frac{AM}{\sin(\angle B)} = 2R_1 $$ Выразим отсюда радиус $R_1$: $$ R_1 = \frac{AM}{2\sin(\angle B)} $$

Аналогично для треугольника $MAC$: $$ \frac{AM}{\sin(\angle C)} = 2R_2 $$ Выразим отсюда радиус $R_2$: $$ R_2 = \frac{AM}{2\sin(\angle C)} $$

Теперь найдем отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{AM}{2\sin(\angle B)}}{\frac{AM}{2\sin(\angle C)}} = \frac{AM}{2\sin(\angle B)} \cdot \frac{2\sin(\angle C)}{AM} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle B)} $$

Применим теорему синусов для исходного треугольника $ABC$: $$ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} $$ Из этого соотношения выразим отношение синусов углов $C$ и $B$: $$ \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{AC} $$

Подставив это выражение в формулу для отношения радиусов, получим: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{AB}{AC} $$

Длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ — это постоянные величины для данного треугольника. Следовательно, их отношение $\frac{AB}{AC}$ также является константой. Это означает, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AMB$ и $MAC$, не зависит от выбора точки $M$ на стороне $BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение радиусов равно отношению сторон $\frac{AB}{AC}$ треугольника $ABC$, которое является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $M$.