Номер 22.51, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.51. Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его ортоцентр (точку пересечения высот) как $H$, а радиус описанной окружности как $R$.

Рассмотрим окружность, проходящую через ортоцентр $H$ и две вершины треугольника, например, $B$ и $C$. Эта окружность является описанной для треугольника $BCH$. Нам нужно доказать, что радиус этой окружности равен $R$, то есть, что окружности равны.

Доказательство можно провести несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы синусов

Пусть $R_{BCH}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $BCH$. Согласно обобщенной теореме синусов для $\triangle BCH$ имеем:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin \angle BHC}$

Для исходного треугольника $ABC$ радиус описанной окружности $R$ выражается как:

$R = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC}$

Чтобы доказать, что $R_{BCH} = R$, достаточно показать, что $\sin \angle BHC = \sin \angle BAC$.

Найдем величину угла $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $B$ и $C$ соответственно. Они пересекаются в ортоцентре $H$.

Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. В нем углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ являются прямыми ($90^\circ$), так как $CC_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp AC$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, значит, сумма двух других углов равна $180^\circ$:

$\angle C_1AB_1 + \angle C_1HB_1 = 180^\circ$

Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC$. Угол $\angle BHC$ является вертикальным к углу $\angle C_1HB_1$, следовательно, $\angle BHC = \angle C_1HB_1$.

Таким образом, получаем: $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$, откуда $\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Теперь подставим это выражение в формулу для радиуса:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin (180^\circ - \angle BAC)}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$R_{BCH} = \frac{BC}{2 \sin \angle BAC} = R$

Таким образом, радиусы окружностей равны, а значит, и сами окружности равны. Аналогичные рассуждения можно провести для окружностей, проходящих через ортоцентр $H$ и другие пары вершин: $(A, B)$ и $(A, C)$.

Способ 2: Использование симметрии

Пусть $\Omega$ — окружность, описанная около $\triangle ABC$. Докажем, что точка $H'$, симметричная ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$, лежит на окружности $\Omega$.

Как было показано в первом способе, $\angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Поскольку точка $H'$ является отражением точки $H$ относительно прямой $BC$, треугольник $BHC$ равен треугольнику $BH'C$. Следовательно, $\angle BH'C = \angle BHC = 180^\circ - \angle BAC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABH'C$. Сумма его противоположных углов равна:

$\angle BAC + \angle BH'C = \angle BAC + (180^\circ - \angle BAC) = 180^\circ$

Свойство вписанного четырехугольника выполняется, значит, четырехугольник $ABH'C$ — вписанный. Так как точки $A, B, C$ лежат на окружности $\Omega$, то и точка $H'$ также должна лежать на этой окружности.

Теперь рассмотрим окружность, проходящую через точки $B, C, H$ (то есть описанную окружность $\triangle BCH$). Отразим эту окружность симметрично относительно прямой $BC$. При симметрии точки $B$ и $C$ переходят сами в себя, а точка $H$ переходит в точку $H'$. Следовательно, отраженная окружность пройдет через точки $B, C, H'$.

Но мы уже доказали, что точки $B, C, H'$ лежат на описанной окружности $\triangle ABC$. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то отраженная окружность совпадает с описанной окружностью $\triangle ABC$.

Осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния и, следовательно, радиусы окружностей. Это означает, что радиус исходной окружности (проходящей через $B, C, H$) равен радиусу ее образа (описанной окружности $\triangle ABC$).

Таким образом, окружность, проходящая через ортоцентр и две вершины треугольника, равна окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.