Номер 22.58, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.58. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $M$ так, что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Докажите, что $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Пусть дан треугольник $ABC$ и точка $M$ внутри него. По условию, площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Обозначим эту площадь как $S$.

$S_{AMB} = S_{BMC} = S_{AMC} = S$

Наша задача — доказать, что точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$. Точка пересечения медиан также называется центроидом.

Доказательство:

1. Проведем луч из вершины $A$ через точку $M$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $K$. Нам нужно доказать, что отрезок $AK$ является медианой, то есть что точка $K$ — середина стороны $BC$.

2. Рассмотрим треугольники $ABK$ и $ACK$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ACK}} = \frac{BK}{CK}$

3. Теперь рассмотрим треугольники $MBK$ и $MCK$. Они также имеют общую высоту, проведенную из вершины $M$ к стороне $BC$. Следовательно, отношение их площадей также равно отношению их оснований:

$\frac{S_{MBK}}{S_{MCK}} = \frac{BK}{CK}$

4. Из двух предыдущих пунктов следует, что:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ACK}} = \frac{S_{MBK}}{S_{MCK}}$

5. Площадь треугольника $ABK$ можно представить как сумму площадей треугольников $AMB$ и $MBK$. Аналогично, площадь треугольника $ACK$ — это сумма площадей $AMC$ и $MCK$.

$S_{ABK} = S_{AMB} + S_{MBK}$

$S_{ACK} = S_{AMC} + S_{MCK}$

6. Подставим эти выражения в равенство из пункта 4:

$\frac{S_{AMB} + S_{MBK}}{S_{AMC} + S_{MCK}} = \frac{S_{MBK}}{S_{MCK}}$

7. По условию задачи, $S_{AMB} = S_{AMC} = S$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{S + S_{MBK}}{S + S_{MCK}} = \frac{S_{MBK}}{S_{MCK}}$

8. Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$(S + S_{MBK}) \cdot S_{MCK} = (S + S_{MCK}) \cdot S_{MBK}$

$S \cdot S_{MCK} + S_{MBK} \cdot S_{MCK} = S \cdot S_{MBK} + S_{MCK} \cdot S_{MBK}$

Вычтем из обеих частей $S_{MBK} \cdot S_{MCK}$:

$S \cdot S_{MCK} = S \cdot S_{MBK}$

Поскольку точка $M$ находится внутри треугольника, площадь $S$ не равна нулю. Значит, мы можем разделить обе части на $S$:

$S_{MCK} = S_{MBK}$

9. Так как площади треугольников $MBK$ и $MCK$ равны и они имеют общую высоту из точки $M$, то их основания также должны быть равны:

$BK = CK$

Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $BC$, а следовательно, отрезок $AK$ — медиана треугольника $ABC$.

10. Аналогично, если провести луч из вершины $B$ через точку $M$ до пересечения со стороной $AC$, мы докажем, что этот луч является второй медианой. Точно так же луч из $C$ через $M$ будет третьей медианой.

Поскольку точка $M$ лежит на всех трех медианах треугольника $ABC$, она является точкой их пересечения.

Ответ: Что и требовалось доказать.